精品解析：上海市徐汇中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

徐汇中学2022学年第二学期高二年级数学期中 2023.4 一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________. 2. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______. 3. 若直线l经过点，且与圆相切，则直线l的方程是___________. 4. 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______． 5. 平行直线与之间的距离为__________． 6. 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为______． 7. 双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为______． 8. 已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为______． 9. 已知在中，其中的平分线所在的直线方程为，则点坐标为__________. 10. 已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是______． 11. 已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为______． 12. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线C上一点.下列说法中正确的有________ .①双纽线关于原点中心对称； ②；③双纽线上满足的点有两个； ④.的最大值为. 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13. 方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（ ） A. 1 B. -4或1 C. -2或-4或1 D. -2或1 14. 若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为（ ） A B. C. D. 16. 数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任点形成的轨迹即为星形线.如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论： ①曲线上任意两点间距离的最大值为8； ②曲线周长大于曲线的周长； ③曲线与圆有且仅有4个公共点. 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题共有5题，满分48分） 17. 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：. （1） 当l1//l2时，求实数a的值； （2） 当l1⊥l2时，求实数a的值. 18. 在平面直角坐标系内，已知点P及线段l，Q是线段l上任意一点，线段长度的最小值称为“点P到线段l的距离”，记为． （1）设点，线段，求； （2）设l是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积． 19. 已知双曲线C的方程为． （1）直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值； （2）过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程． 20. 已知圆M方程为，直线方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B． （1）若P点坐标为，求 （2）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 21. 已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：与椭圆E相切于点T． （1）求椭圆E的离心率； （2）求椭圆E的标准方程及点T的坐标； （3）设O为坐标原点，直线l＇平行于直线OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P，那么是否存在常数λ，使得？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐汇中学2022学年第二学期高二年级数学期中 2023.4 一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用直线的斜率公式求解. 【详解】解：因为直线l经过点､， 所以直线l的斜率是， 故答案为：1 2. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，解不等式组可得答案 【详解】因为方程表示椭圆， 所以，得且. 所以实数的取值范围是， 故答案为： 3. 若直线l经过点，且与圆相切，则直线l的方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可得点在圆上，故直接根据过圆心与切点的直线与直线l垂直即可求得直线l的斜率，进而求得方程 【详解】因为，故点在圆上，又圆心到的斜率为， 故直线l的斜率，故直