21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2022--2023学年人教版九年级数学上册

*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．不解方程，利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题． 学 习 目 标 （1）x2＋3x－4＝0；　　（2）x2－5x＋6＝0；　　（3）2x2＋3x＋1＝0． 一元二次方程 两根 x1 x2 x2＋3x－4＝0 x2－5x＋6＝0 2x2＋3x＋1＝0 －4 1 2 3 －1 －3 －4 5 6 将二次项系数化为1 方程的两根x1和x2与系数a，b，c有什么关系？ 解下列方程并完成填空： x1＋x2＝？ x1·x2＝？ 复 习 导 入 （1）一元二次方程(x－x1)(x－x2)＝0（x1，x2为已知数）的两根是什么？若将此方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 方程x2＋px＋q＝0的两根x1，x2满足上面两个关系式 (x－x1)(x－x2)＝0 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0 x2＋px＋q＝0 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q 合 作 探 究 （2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么，你可以发现什么结论？ 合 作 探 究 注：b2－4ac≥0 ↗ 合 作 探 究 满足上述关系的前提条件 b2－4ac≥0． 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么 一元二次方程的根与系数的关系 合 作 探 究 例1 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积． （1）x2－6x－15＝0；　　（2）3x2＋7x－9＝0；　　（3）5x－1＝4x2． 注意公式自身的符号及系数的符号． （2）x1＋x2＝－＝－， x1x2＝＝＝－3． 解：（1）x1＋x2＝－(－6)＝6， x1x2＝－15． 典 例 精 析 （3）化一般式，得4x2－5x＋1＝0， 用根与系数的关系前，一定要化成一般式． x1＋x2＝－＝－＝， x1x2＝＝． 例1 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积． （1）x2－6x－15＝0；　　（2）3x2＋7x－9＝0；　　（3）5x－1＝4x2． 典 例 精 析 与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根x1，x2有关的几个代数式的变形 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入． 1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5． ； 6． ． 拓 展 提 升 例2 已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则的值是（　　） A． B． C． D． A ∴． 解析：∵a2－6a＋4＝0和b2－6b＋4＝0两个等式的形式相同，且a≠b， ∴a，b可以看成是方程x2－6x＋4＝0的两个根，∴a＋b＝6，ab＝4， 典 例 精 析 解：设方程的两根分别为x1，x2， 例3 已知关于x的一元二次方程2x2－mx－2m＋1＝0的两根的平方和为 ，求m的值． 由已知得 ∵ ，∴ ， ∴ ，解得m1＝－11，m2＝3． 典 例 精 析 求解此类问题时，必须将求出的字母的值代回原方程进行检验，看是否满足判别式Δ＞0，否则可能会多解． 当m＝－11时，方程为2x2＋11x＋23＝0，Δ＝121－4×2×23＝－63＜0， 方程无实数根，不合题意，应舍去； 当m＝3时，方程为2x2－3x－5＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－5)＝49＞0， 方程有两个不相等的实数根．综上所述，m的值为3． 典 例 精 析 1．关于x的方程x2＋px＋q＝0的根为x1＝1＋ ，x2＝1－ ，则p＝______，q＝______． －2 －1 －7 2．已知方程5x2＋kx－6＝0的一根是2，则另一根是_