7.1.1 数系的扩充和复数的概念课件-2022-2023学年高一下学期人教A版（2019）数学必修第二册

对于一元二次方程 ，当 时，没有实数根．因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，诸如此类问题将无法解决． 引入 如何解决数学家在研究解方程问题时遇到的负实数开平方问题呢？ 问题 从方程的角度看，负实数能不能开平方，实际上就是方程x2=-a（a＞0）有没有解的问题．把这类问题再进一步简化， 最终转化为最简单的方程x2+1=0有没有解的问题. x2+1=0在实数集中无解，能否引入新数，适当地扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？ 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 人教A版高中数学必修第二册 今天真顺，可是我现在 共捕了多少头野猪呢？ 有办法了，用结绳来计数！ 我真是天才！ 计数的需要 自然数 被“数”出来的自然数 远古时期的人类，用划痕、 石子、结绳记数，创造了自然数1.2.3.4. 5…… 自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地. 相反量的需要 负数 被“欠”出来的负数 东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法． 负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾. 记出入账 等额公平分配的需要 分数 被“分”出来的分数 分数的引入,解决了在整数中不能整除的矛盾. 大约在春秋战国时期 《九章算术》 (东汉初年) : 第二章“粟米”：粮食的按比例折换； 第三章“衰分”：比例分配问题；  第六章“均输”：合理摊派赋税； 第八章 “方程”：解一次方程组. 无论是负数、分数的确切定义和科学表示，还是它们的运算，最早建立起来的都是中国，比欧洲早1400年. 毕达哥拉斯（约公元前560—480年） 1 1 ? x2=2 度量计算的需要 无理数 边长为1的正方形的对角线长是多少? 被“推”出来的无理数 约2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数, 引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数。 无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾. 自然数集 整数集 有理数集 实数集 刻画相反意义的量 引入了 负数 解决测量等分问题 引入了 分数 解决度量正方体对角线等问题 引入了 无理数 自然数 负整数 整数 无理数 有理数 分数 实数 从社会实践来看 随着社会发展，数系在不断扩充． 计数的需要 引入了 自然数 从数学发展的角度来看 （2）在整数集中求方程2x-1=0的解； 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 无解 有解 无解 有解 有解 无解 （3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；   数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题． （4）在实数集中求x2+1=0方程的解． 无解 有解 ？ 引入 新数 （1）在自然集中求方程x+1=0的解； 如果没有运算，数只是孤立的符号！ 有理数集 实数集 运算 运算律 交换律 结合律 分配律 交换律 结合律 分配律 数系扩充规则：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 引入了 无理数 ＋（－） ×（÷） ＋（－） ×（÷） 问题 数系经过扩充后，在运算上遵循了什么规则？ 回到问题：求下列方程的解 希望：引进一个新数使方程有解 设想：引入的新数能像实数那样进行加法、乘法运算，保持原有的（实数）加法、乘法运算律仍成立 1、引进一个新数 历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的. 我们可以引入一个数“i”，使i2=-1， 这样x=i就是方程x2+1=0的解． 实数 新数i 加法运算 乘法运算 a+i bi a+bi(a，b∈R) 3+i 2i 3+2i 依据规则：在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致． (1)形如 的数叫做复数,通常用字母 z 表示. (2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C 表示. 实部 虚部 2、复数与数系的扩充 i 叫虚数单位 3、复数的分类 实数 纯虚数 虚数 实数R 纯虚数 虚数 复数集C 4 、复数相等 规定： 如果两复数能比较大小，那么这两复数一定为实数。 思考: 任意两个复数可以比大小吗？ 例1. 将下列复数分类，分出实数、纯虚数和虚数，并指出虚数的实部与虚部。 复数集C 实数R 纯虚数 虚数 复数集C (2)当 ，即 时，复数 z 是虚数． 例2 实数m取什么值时，复数 是 (1) 实数？ (2)虚