3.2.1 单调性与最大（小）值教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课时教学设计 课题 3.2.1 单调性与最大（小）值 授课时间：年 月 日 课型：新授课 课时： 教学目标 知识与技能 ：通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识， 通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义， 掌握用定义证明函数单调性的步骤。 过程与方法：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。 情感态度图价值观：体会函数图象是研究函数性质的一种重要工具，能从函数的图象中发现函数的性质，并在这个过程中能进行直观与抽象的转化。 学习重点难点 教学重点：函数的单调性及其几何意义 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性 教学准备：ppt课件 学习活动设计 环节一：情景引入，温故知新 （1） 情境导学 问题1：阅读课本第76页节引言的内容，回答下列问题： （1）为什么要研究函数的性质？ （2）什么叫函数的性质？ （3）函数的性质主要有哪些？ （4）如何发现函数的性质？ 预设的答案：（1）通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律；（2）变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质；（3）比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象的对称性等；（4）先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以发现函数的一些性质． 教师活动 学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括节引言的内容 学生活动 学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括节引言的内容 活动设计意图：明确研究对象，初步构建研究框架． 环节二：新知探究 知识点一：增函数、减函数定义 一般地，设函数的定义域为I，区间：如果，，当时，都有，那么就称函数在区间D上单调递增.（如下图） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数. 如果，，当时，都有，那么就称函数在区间D上单调递减.（如右图） 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数. 例题点拨 例1 根据定义，研究函数的单调性. 分析：根据函数单调性的定义，需要考察当时，还是.根据实数大小关系的基本事实，只要考查与0的大小关系. 解：函数的定义域是R. ，，且，则. 由，得. 所以①当时，. 于是，即. 这时，是增函数. ②当时，. 于是，即. 这时，是减函数. 例2 物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明. 分析：根据题意，只要证明函数是减函数即可. 证明：，，且，则 由，，得； 由，得. 又，于是，即 所以，根据函数单调性的定义，函数，是减函数.也就是说，当体积V 减小时，压强p将增大. 教师活动 老师提问：你能总结用定义证明函数f(x)在区间D上的单调性的步骤吗？ 让学生总结 学生活动 在老师的指导下总结出步骤第一步：在区间D上任取两个自变量的值x1，x2∈D，并规定x1＜x2，简记为“设元”；第二步：计算f(x1)－f(x2)，将f(x1)－f(x2)分解为若干可以直接确定符号的式子，简记为“作差、变形”；第三步：确定f(x1)－f(x2)的符号．若f(x1)－f(x2)＜0，则函数在区间D上单调递增；若f(x1)－f(x2)＞0，则函数在区间D上单调递减．简记为“断号、定论”．） 活动设计意图：体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，从而借助函数性质就可以把握事物的变化规律．通过证明进一步熟悉使用定义证明单调性的程序，并通过追问让学生总结出证明单调性的基本步骤，提升学生的数学抽象素养． 知识点2 函数的最大（小）值 最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1），都有；（2），使得.那么称M是函数的最大值. 最小值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1），都有；（2），使得.那么称M是函数的最小值. 例题点拨 例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？ 解：画出函数的图象如图，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识，对于函数， 当时，函数有最大值 于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m. 教师活动 你能说说计算烟花爆裂的最佳时刻的意义吗？ 学生活动 学生回答老师问题，总结出烟花设计者就可以根据这个数据设定引信的长度，以