微专题 对随机变量的理解与分布列的制作 讲义-2022-2023学年高二下学期数学沪教版（2020)选择性必修第二册

微专题 对随机变量的理解与分布列的制作 【学生版】 学习笔记 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学习笔记 “微专题”是指：针对教材中的“四基”、“四能”、数学方法、数学思想等的一种“小切口”，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； 知识梳理 1、随机变量 （1）定义：在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量； （2）表示：随机变量常用大写字母X，Y，…表示． 2、离散型随机变量 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量； 3、随机变量X的分布列 要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道： （1）X所有可能取的值ω1，ω2，…，ωn； （2）X取每一个值xi的概率p1，p2，…，pn，需要列出下表： （其中：；且） 【或】 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列． 4、随机变量X的分布列的性质 （1）pi≥0，i＝1,2,3，…，n； （2）p1＋p2＋…＋pn＝1. 5、二点分布【拓展】 如果随机变量X的分布列为 【或】 X 0 1 P q p 其中0＜p＜1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布． 典题例析 例1、判断下列命题是真假(正确的打“√”，错误的打“×”)学习笔记 ①在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量；(　　) ②在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值；(　　) ③在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数；(　　) ④离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等；(　　) ⑤在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1；(　　) 【答案】； 【解析】 例2、一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X； （1）列表说明可能出现的结果与对应的X的值； （2）若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定η是否为随机变量． 【提示】　→→ 【解析】 【说明】本题考查随机变量的判定；一般可以用 “三步法”判定离散型随机变量 1、依据具体情境分析变量是否为随机变量． 2、由条件求解随机变量的值域． 3、判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量； 例3、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果． （1）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； （2）从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和； 例4、口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．学习笔记 【说明】本题考查了求随机变量的分布列的方法与步骤； 1、求随机变量的分布列的步骤： （1）找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1，2，…，n)； （2）求出取每一个值的概率P(X＝xi)＝pi.； （3）列出表格。 2、求离散型随机变量分布列时应注意的问题 （1）确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程． （2）在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确； 例5、设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，求： （1）P(X＝1或X＝2)； （2）P； 【说明】本题主要考查了分布列及其性质的应用；利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：学习笔记 （1）X的各个取值表示的事件是互斥的. （2）不仅要注意，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n. 例6、【拓展】袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列； 【说明】本题考查了两步法判断一个分布是否为二点分布： （1）看取值：随机变量只取两个值0和1； （2）验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立； 如果一个分布满足以上两点，则该分布是二点分布，否则不是二点分布；方法归纳 1、随机变量的辨析方法 （1）随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同；