1.1.1空间向量及其线性运算（讲+练）-【巅峰课堂】2023年新高二数学暑假预习精讲精练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.1.1空间向量及其线性运算 目录 学习内容与学习目标 1 知识梳理 1 学法指导 3 自学与预习基础检测 3 考点剖析 4 考点一：向量概念及其应用 4 考点二：空间向量的加法与减法运算 4 考点三：空间向量的线性运算 5 考点四：向量共线的判定及其应用 6 考点五：向量共面的判定及其应用 7 课堂练习 7 1.理解空间向量的有关概念.2 2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差. 3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律． 4.理解向量共线、向量共面的定义. 5.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面． 概念1：空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示，如平面向量一样，是可以自由平移的； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4． 常见的空间向量概念 （1） 零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为0 （2） 单位向量:模为1的向量称为单位向量 （3） 相反向量:与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a （4） 相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量 概念2：空间向量的线性运算 1.加法：a＋b＝＋ ＝ 2.减法：a－b＝－＝， 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b． (2)如图2，＋＋＝． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． 3.数乘： 当λ>0时，λa＝λ＝；当λ<0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0 4.运算律: 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 概念3：共线向量 1.定义：共线向量(或平行向量)：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 2．空间两个向量共线的充要条件： 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 3．直线的方向向量： 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 概念4：共面向量 1．共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．（特殊的理解） 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 1.怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量与相加的顺序五关！ 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 2.由数乘λa＝0，不一定有λ＝0? λa＝0⇔λ＝0或a＝0. 3.已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系＝＋x＋y，则点P与点A，B，C共面 由＝＋x＋y，可得＝x＋y，所以向量与向量，共面，故点P与点A，B，C共面． 1.判断下列命题的真假． ①空间向量就是空间中的一条有向线段；( ) ②不相等的两个空间向量的模必不相等；( ) ③任一向量与它的相反向量不相等；( ) ④向量与向量的长度相等．( ) 2．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) （1）零向量没有方向．( ) （2）有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．( ) （3）平面内所有的单位向量是相等的．( ) （4）任何两个向量均不可以比较大小.( ) 3.判断正误 （1）若向量是向量的相反向量，则．( ) （2）空间向量就是空间中的一条有向线段．( ) （3）若空间向量，，满足，，则．( ) 4.判断正误 （1）若，则存在唯一的实数，使．( ) （2）空间中任意三个向量一定是共面向量．( ) 5.在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？ ________________________________