第3章 4.3 用向量方法研究 立体几何中的度量关系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

4．3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　两条直线的夹角、直线与平面的夹角 知识点一　两条直线的夹角 1．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2的夹角为θ，直线l1与l2的夹角为α，则(　　) A．α＝θ B．α＝π－θ C．cosθ＝|cosα| D．cosα＝|cosθ| 答案　D 解析　由题意知，θ与α相等或互补，且α∈，所以cosα＝|cosθ|.故选D. 2．设直线l1的一个方向向量为s1＝(1，1，1)，直线l2的一个方向向量为s2＝(－2，2，－2)，则l1与l2夹角的余弦值为(　　) A．－ B. C. D. 答案　B 解析　∵|cos〈s1，s2〉|＝＝，∴l1与l2夹角的余弦值为.故选B. 3．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，M(1，，1)，C(0，1，0)，N(1，1，)，∴＝(0，，1)，＝(1，0，)．故·＝0×1＋×0＋1×＝，||＝＝，||＝＝.令α为所求角，则cosα＝＝＝.故选D. 4.如图，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1夹角的余弦值． 解　以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则O1(0，1，)，A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)， ∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)． ∴|cos〈，〉|＝ ＝＝. ∴异面直线A1B与AO1夹角的余弦值为. 5.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD上一点，且BM⊥PD.求异面直线PB与CM夹角的余弦值． 解　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)， 则＝(2，0，－4)，＝(2，4，－4)， ＝(0，4，－4)， 设＝λ(0≤λ≤1)， 则＝(0，4λ，－4λ)， 所以＝－＝(－2，4λ，4－4λ)， 由BM⊥PD知·＝0＋16λ－4(4－4λ)＝0， 所以λ＝，M为PD的中点， 所以M(0，2，2)，＝(－2，－2，2)， |cos〈，〉|＝ ＝＝. 所以异面直线PB与CM夹角的余弦值为. 知识点二　直线与平面的夹角 6．正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC夹角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.由题意得A(1，－1，0)，C(－1，1，0)，B(1，1，0)，S(0，0，)．∴＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，)，＝(1，－1，)．设平面SBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则∴令z＝，得x＝0，y＝2，∴n＝(0，2，)．设直线AC与平面SBC的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝. 7.如图，在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD夹角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，连接OD，以O为坐标原点，OD，OA所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，则O(0，0，0)，A，C，E，∴＝，＝，∴|cos〈，〉|＝＝.∴CE与平面BCD夹角的正弦值为. 8．已知平面α的一个法向量为n＝，A∈α，P∉α，且＝，则直线PA与平面α的夹角为________． 答案　 解析　设直线PA与平面α的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝ ＝，所以直线PA与平面α的夹角为. 9．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α的夹角等于________． 答案　30° 解析　设直线l与平面α的夹角为θ，则sinθ＝|cos120°|＝，又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. 10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1夹角的正弦值． 解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，M，C1，B(0，a，0)， 故＝，＝，＝. 设平面AMC1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 ∴ 令y＝2，则z＝－，x＝0. ∴n＝. ∴cos〈，n〉＝＝ ＝－. 设BC1与