第3章 3.1 空间向量基本定理-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3．1　空间向量基本定理 知识点一　基的概念 1.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，则下列向量能构成空间向量的一组基的是(　　) A.，， B. ，， C. ，， D.，， 答案　A 解析　，，不共面，，，共面，，，共面，，，共面．故选A. 2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间向量的一组基的一组向量是(　　) A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c 答案　C 解析　对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能构成空间向量的一组基；同理可判断B，D不能构成空间向量的一组基．故选C. 3．[多选]O，A，B，C为空间的四个点，又{，，}为空间向量的一组基，则下列说法正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 答案　ACD 解析　由于{，，}为空间向量的一组基，所以，，不共面，因此，O，A，B，C四点一定不共面，则A，C，D正确，B错误．故选ACD. 知识点二　用基表示向量 4．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则(　　) A.＝－a＋b＋c B.＝－a－b－c C.＝a－b－c D.＝a－b＋c 答案　D 解析　＝＋＝－＋(＋)＝－＋＝a－b＋c. 5.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A．1 B. C. D. 答案　C 解析　连接AM，AN，如图，因为G是MN的中点，所以＝(＋)＝＝＋＋，根据题意知＝x＋y＋z，所以x＋y＋z＝.故选C. 6.如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示，，，. 解　连接BO，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＝－a＋b＋c. ＝＝＝a. 知识点三　空间向量基本定理的应用 7.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则cos〈，〉＝________． 答案　－ 解析　设＝a，＝b，＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，a·b＝a·c＝b·c＝.因为＝b＋c，＝＋＝－b＋a，所以cos〈，〉＝＝－. 8.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，设＝a，＝b，＝c，{a，b，c}为空间向量的一组基，计算： (1)·； (2)EG的长． 解　(1)由题意，得 |a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴·＝·(－a)＝. (2)＝＋＋＝－a＋b＋c， ∴2＝a2＋b2＋c2－a·b－a·c＋b·c＝， ∴||＝，即EG的长为. 9.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.证明：PA⊥BD. 证明　∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，∴∠DAB＋∠ADC＝180°， 又∠DAB＝60°，∴∠ADC＝120°. ∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DA，PD⊥DC， 设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间向量的一组基． 则＝＋＝－c＋a，＝＋＝－b－a. ·＝(－c＋a)·(－b－a)＝b·c＋a·c－a·b－a2＝0＋0－|a|·|2a|·cos120°－a2＝0. ∴PA⊥BD. 10．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基向量，证明： (1)EG∥AC； (2)平面EFG∥平面AB′C. 证明　取一组基{，，}． (1)因为＝＋＝＋， ＝＋＝2，所以∥， 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC. (2)因为＝＋＝＋， ＝＋＝2， 所以∥，又FG，AB′无公共点， 所以FG∥AB′. 又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C， 所以FG∥平面AB′C. 又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C， 又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB′C. 一、选择题 1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝