第2章 3.1 抛物线及其标准方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

§3　抛物线 3．1　抛物线及其标准方程 知识点一　抛物线的定义及应用 1．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 答案　C 解析　方程5＝|3x＋4y－12|可化为＝，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线．故选C. 2．若抛物线y2＝16x上的点M到焦点的距离为8，则点M到y轴的距离为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 答案　A 解析　因为抛物线的方程为y2＝16x，所以2p＝16，解得p＝8，所以准线方程为x＝－＝－4，又因为点M到焦点的距离为8，所以点M到准线的距离为8，设点M到y轴的距离为m，则有m＋4＝8，所以m＝4.故选A. 3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|>|BF|，则的值为(　　) A．3 B．2 C. D. 答案　A 解析　如图，由于倾斜角α＝60°，|AA′|＝|AM|＋|A′M|＝|AF|cosα＋p，又|AA′|＝|AF|，得|AF|＝，同理得|BF|＝，则＝＝＝3. 4．给出下列命题： ①到定点F(－1，0)的距离和到定直线x＝1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线； ②到定点F(2，1)的距离和到定直线3x－2y－4＝0的距离相等的动点P的轨迹为抛物线． 其中假命题是________(填序号)． 答案　② 解析　由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点F(2，1)在定直线3x－2y－4＝0上，可知动点P的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题． 知识点二　抛物线的标准方程及应用 5．准线方程为x＝－2的抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x 答案　D 解析　因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.故选D. 6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，则“p>”是“F到l的距离大于1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为F到l的距离为p，所以“p>”是“F到l的距离大于1”的必要不充分条件．故选B. 7．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，则最短距离为＝1，所以p＝2.故选C. 8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段MF与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若|MA|＝3|AB|＝3，则p＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　设l与x轴的交点为H，由O为FH的中点，知A为MF的中点，因为|MA|＝3|AB|＝3，所以|MF|＝6，|BF|＝2，|BM|＝4.过点B作BQ⊥l，垂足为Q，则由抛物线的定义可知|BQ|＝|BF|＝2，所以|BM|＝2|BQ|，则|MF|＝2|FH|＝6，所以p＝|FH|＝3.故选C. 9．已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，F(1，0)，A(4，3)，则|PA|－|PF|的最大值为________，最小值为________． 答案　3　－3 解析　如图，可判断A，F都在抛物线的内侧，∴||PA|－|PF||≤|FA|(当且仅当P，A，F三点共线时，等号成立)，即－|FA|≤|PA|－|PF|≤|FA|，而|FA|＝3，∴|PA|－|PF|的最大值是3，最小值是－3. 10．平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程． 解　解法一：设点P的坐标为(x，y)， 则有＝|x|＋1. 两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|. 所以y2＝ 即动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)． 解法二：由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1， 故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件； 当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等， 故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x. 故动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)． 一、选择题 1．抛物线y2＝8x的准线方程是(　　) A．x＝－2 B．x＝－4 C．y＝－2 D．y＝－4 答案　A 解析　∵y2＝8x＝2×4x，∴p＝4，准线方程为x＝－＝－2. 2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆