第2章 2.2 双曲线的简单几何性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

2．2　双曲线的简单几何性质 知识点一　双曲线的几何性质 1．已知双曲线C：y2－＝1，则该双曲线的虚轴长为(　　) A．1 B．2 C. D．2 答案　D 解析　由双曲线C：y2－＝1，可知该双曲线的虚轴长为2b＝2.故选D. 2．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 答案　A 解析　∵双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，∴若直线x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，只有A项符合题意．故选A. 3．已知双曲线C：－x2＝1(m>0)的离心率e＝，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　A 解析　由题意知，a＝，b＝1，所以c＝＝，而e＝＝＝，所以m＝4，所以渐近线方程为y＝±x＝±2x.故选A. 4．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程． 解　把双曲线方程化为标准形式为－＝1， 由此可知，实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2. 顶点坐标是(－1，0)，(1，0)． c＝＝＝， 所以焦点坐标是(－，0)，(，0)． 离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±2x. 知识点二　由双曲线的几何性质求标准方程 5．[多选]实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程可能是(　　) A．x2－＝1 B．y2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　AB 解析　实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是x2－＝1或y2－＝1.故选AB. 6．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率为，则C的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由右焦点为F(3，0)可知c＝3，又因为离心率为，所以＝，所以a＝2.由c2＝a2＋b2知b2＝5，故C的标准方程为－＝1.故选B. 7．中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点P(1，3)，离心率为的双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　由离心率为，得e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b.故设所求双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 知识点三　双曲线的离心率问题 8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则其离心率e的取值范围为(　　) A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．(1，] D．(1，] 答案　D 解析　依题意，知(a，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，∴≤a，解得e≤.又e>1，∴1<e≤.故选D. 9．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________． 答案　 解析　不妨设点P在双曲线右支上，由题意得 解得 又|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小． 由余弦定理，得＝cos30°， ∴2ac＝3a2＋c2，等式两边同除以a2，得e2－2e＋3＝0，∴e＝. 10．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，经过F1且垂直于x轴的直线交双曲线于P，Q两点，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 解　设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程，得－＝1， ∴y＝±. 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|， ∴＝2c，∴b2＝2ac，∴c2－2ac－a2＝0. ∴－2×－1＝0，即e2－2e－1＝0. ∴e＝1＋或e＝1－(舍去)． ∴双曲线的离心率为1＋. 一、选择题 1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则该双曲线的方程为(　　) A．x2－y2＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 答案　B 解析　由已知，知＝2，c－a＝1，∴c＝2，a＝1.∴b2＝c2－a2＝3.∴所求双曲线的方程为x2－＝1. 2．如果椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　) A. B. C. D．2 答案　A 解析　由已知椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2.∴＝＝.∴双曲线的离心率为. 3．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是3，则其渐近线的方程为(　　) A．x±2y＝0 B．2x±y＝0 C．x±8y＝0 D．8x±y＝0 答案　A 解析　双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是3，可得＝3，又c2＝a2＋b2，则＝.则其渐近线的方程为x±2y＝0. 4．已知椭圆C1：＋y2＝