第2章 2.1 双曲线及其标准方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

§2　双曲线 2．1　双曲线及其标准方程 知识点一　双曲线的定义 1．平面内到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹为(　　) A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线 答案　D 解析　根据题意，得||MF1|－|MF2||＝4，且|F1F2|＝6>4，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6.故选D. 2．已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　) A．一条射线 B．双曲线 C．双曲线左支 D．双曲线右支 答案　A 解析　因为|PM|－|PN|＝4＝|MN|，所以动点P的轨迹是一条射线．故选A. 3．动圆C与定圆C1：(x＋3)2＋y2＝9，C2：(x－3)2＋y2＝1都外切，求动圆圆心C的轨迹方程． 解　如图所示，由题意，得定圆圆心C1(－3，0)，C2(3，0)，半径r1＝3，r2＝1，设动圆圆心为C(x，y)，半径为r， 则|CC1|＝r＋3，|CC2|＝r＋1. 两式相减，得|CC1|－|CC2|＝2<|C1C2|＝6， ∴点C的轨迹是以C1，C2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支． ∵a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8. ∴动圆圆心C的轨迹方程为x2－＝1(x≥1)． 知识点二　双曲线的标准方程 4．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．y2－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　由双曲线的定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1，又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.故选A. 5．若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　) A．±5 B．±3 C．5 D．9 答案　B 解析　由题意得34－n2＝n2＋16，2n2＝18，解得n＝±3.故选B. 6．若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当k>3时，k－3>0，k＋3>0，∴方程－＝1表示双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，∴k>3或k<－3.故“k>3”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件． 7．[多选]已知双曲线的两焦点在坐标轴上且关于原点对称，一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，c＝a，则双曲线的方程可以为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝－1 D.－＝－1 答案　AD 解析　当双曲线的焦点在x轴上时，令y＝0，则x＝－4，∴双曲线的焦点坐标分别为(－4，0)，(4，0)，∴c＝4，又c＝a，∴a＝，∴b2＝c2－a2＝16－＝，故双曲线的方程为－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，令x＝0，则y＝10，∴双曲线的焦点坐标分别为(0，－10)，(0，10)，∴c＝10，又c＝a，∴a＝6，∴b2＝c2－a2＝100－36＝64，故双曲线的方程为－＝1.故选AD. 知识点三　双曲线的标准方程的综合应用 8．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4. 9.为响应国家号召，大力发展三农产业，某农户在自家地块开起生态农家乐，如图所示，建设了三个功能区，△ABC为小型鱼塘，养鱼供休闲垂钓，矩形BCMN为果园种植区，以CM为直径的半圆区域为农家乐活动住宿区．现农户欲对果园进行施肥，运来一批肥料放置于点A处，要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路AB，AC送到矩形BCMN的果园种植区去，若AB＝CB＝2 km，AC＝1 km，该农户在矩形BCMN果园中画定了一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近，而另一侧的点沿道路AC运送肥料较近，设这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为(　　) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 答案　D 解析　由题意，从点A出发经C到界线上一点P，与从点A出发经B到P，所走的路程是一样的，即|AC|＋|PC|＝|AB|＋|PB|，所以|PC|－|PB|＝|AB|－|AC|，又AB＝CB＝2 km，AC＝1 km，所以|PC|－|PB|＝1＜|CB|，根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线．故选D. 10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋