第2章 1.2 椭圆的简单几何性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

1．2　椭圆的简单几何性质 知识点一　椭圆的几何性质 1．椭圆25x2＋9y2＝1的范围为(　　) A．|x|≤5，|y|≤3 B．|x|≤，|y|≤ C．|x|≤3，|y|≤5 D．|x|≤，|y|≤ 答案　B 解析　椭圆方程可化为＋＝1，所以a＝，b＝，所以|x|≤，|y|≤.故选B. 2．[多选]下面是关于曲线4x2＝12－3y2对称性的一些叙述，其中正确的是(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 答案　ABC 解析　曲线方程4x2＝12－3y2可化为＋＝1，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆，由椭圆的性质，知该曲线关于x轴、y轴、原点对称．将曲线方程中的x换成y，y换成x，得＋＝1，与原曲线方程不同，故该曲线不关于直线y＝x对称．故选ABC. 3．[多选]已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论不正确的是(　　) A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 答案　ABC 解析　椭圆C：16x2＋4y2＝1化为标准形式为＋＝1，可得a＝，b＝，则c＝＝，故长轴长为2a＝1，短轴长为2b＝，焦距为2c＝，离心率为e＝＝＝.故选ABC. 4．[多选]设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是(　　) A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6 B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为 C．存在点P，使PF1⊥PF2 D．|PF1|的取值范围是[1，3] 答案　ABD 解析　由椭圆方程可知，a＝2，b＝，从而c＝＝1.根据椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2，所以当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6，A正确；设点P(x0，y0)(y0≠0)，因为|F1F2|＝2，则S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝|y0|.因为0<|y0|≤b＝，则△PF1F2面积的最大值为，B正确；当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2最大，此时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，又|F1F2|＝2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2＝60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，C错误；当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|＝a＋c＝3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|＝a－c＝1，所以|PF1|∈[1，3]，D正确．故选ABD. 5．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁(填序号)． 答案　① 解析　x2＋9y2＝36化为标准方程得＋＝1，故离心率e1＝＝；椭圆＋＝1的离心率e2＝.因为e1>e2，所以①更扁． 知识点二　由椭圆的几何性质求方程 6．已知直线2x＋y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>0，b>0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　直线2x＋y－2＝0与坐标轴的交点坐标为(1，0)，(0，2)，由题意得c＝1，b＝2，所以a＝＝，所以椭圆的方程为＋＝1.故选A. 7．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则(　　) A．a2＝25，b2＝16 B．a2＝9，b2＝25 C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25 D．a2＝25，b2＝9 答案　D 解析　因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9. 8．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程为________． 答案　＋＝1 解析　由2a＝18，得a＝9.又因为2c＝＝6，所以c＝3.所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 知识点三　椭圆的离心率问题 9．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若|OM|＝|MF1|＝|OP|，则椭圆E的离心率为(　　) A. B. C.－1 D. 答案　C 解析　设椭圆E的右焦点为F2.因为|OM|＝|MF1|＝|OP|，所以∠F1PO＝30°，∠MF1F2＝60°，连接MF2，可得△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，则c＋c＝2a，则离心率e＝＝＝－1.故选C. 10．如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，OP∥AB，则椭圆的离心率为________． 答案　 解析　解法一：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则kAB＝－.又PF⊥x轴，∴点P的坐标为，∴kOP＝－.∵OP∥AB，∴kAB＝k