第1章 2.3 直线与圆的位置关系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

2．3　直线与圆的位置关系 知识点一　直线与圆位置关系的判断 1．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判定 答案　B 解析　由圆的方程可得圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，所以圆心到直线3x＋4y－13＝0的距离d＝＝1＝r，则直线与圆的位置关系为相切．故选B. 2．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 答案　C 解析　将直线方程ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－2，0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9必相交．故选C. 3．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆： (1)有两个公共点？ (2)只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 解　解法一：由mx－y－m－1＝0， 得y＝mx－m－1， 将其代入圆的方程化简整理，得 (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. Δ＝[－2(m2＋2m＋2)]2－4(1＋m2)(m2＋4m＋4)＝4m(3m＋4)， (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－<m<0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2，1)，半径为r＝2. 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝. (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 知识点二　圆的切线问题 4．[多选]与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程可能为(　　) A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x＋y－4＝0 D．x－y－4＝0 答案　ABC 解析　圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1，故A，B正确；②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)，故C正确，D错误．故选ABC. 5．已知圆x2＋y2＝25，求： (1)过点A(4，－3)的切线方程； (2)过点B(－5，2)的切线方程． 解　(1)∵点A(4，－3)在圆x2＋y2＝25上， 圆心为O(0，0)，半径为r＝5，∴kOA＝－， ∵切线过A(4，－3)， ∴切线的斜率k＝－＝， ∴过点A的切线方程为4x－3y－25＝0. (2)∵点B(－5，2)不在圆x2＋y2＝25上， 当过点B(－5，2)的切线斜率存在时， 设所求切线方程为y－2＝k(x＋5)， 即kx－y＋5k＋2＝0. 由＝5，得k＝. ∴此时切线方程为21x－20y＋145＝0. 当过点B(－5，2)的切线斜率不存在时， 结合图形可知，直线x＝－5也是切线． 综上所述，所求切线方程为21x－20y＋145＝0或x＝－5. 知识点三　圆的弦及弦长问题 6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　　) A. B．2 C. D．2 答案　D 解析　过原点且倾斜角为60°的直线方程为y＝x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0，2)到直线的距离d＝＝1，由垂径定理知所求弦长为l＝2＝2.故选D. 7．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．－1或 B．1或3 C．－2或6 D．0或4 答案　D 解析　圆的半径r＝2，圆心(a，0)到直线x－y－2＝0的距离d＝，由＋()2＝22，得a＝0或a＝4.故选D. 8．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　) A. B．± C. D．± 答案　D 解析　因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以圆心C(2，3)到直线的距离为d＝＝1，所以＝＝1，解得k＝±.故选D. 9．直线l与圆M：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为________． 答案　x－y＋5＝0 解析　由圆的