第1章 2.2 圆的一般方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

2．2　圆的一般方程 知识点一　圆的一般方程 1．若圆的方程是x2＋y2－2x＋10y＋23＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(－1，5)， B．(1，－5)， C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3 答案　B 解析　解法一(化为标准方程)：(x－1)2＋(y＋5)2＝3. 解法二(利用一般方程)：为圆心，半径r＝，易得－＝1，－＝－5，r＝. 2．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C. D．(－2，0) 答案　A 解析　当a2＋4a2－4>0时，该方程表示圆，故－a＋1>0，解得a<1.故选A. 3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．－3 答案　B 解析　圆的方程化为标准形式为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1，2)．因为直线过圆心，所以3×(－1)＋2＋a＝0，所以a＝1. 4．若过点(1，2)的直线平分圆x2＋y2＋4x＋3＝0，则该直线的方程是(　　) A．3x－2y＋4＝0 B．x＝1 C．2x－3y＋4＝0 D．y＝2 答案　C 解析　由于直线平分圆，把圆的方程化为标准方程得圆心(－2，0)，则直线过圆心(－2，0)．又直线过点(1，2)，由两点式得直线的方程为2x－3y＋4＝0. 5．当圆x2＋y2＋2x＋2ky＋2k2＝0的面积最大时，圆心坐标是(　　) A．(0，－1) B．(－1，0) C．(1，－1) D．(－1，1) 答案　B 解析　将圆x2＋y2＋2x＋2ky＋2k2＝0化成标准方程，得(x＋1)2＋(y＋k)2＝1－k2，∴该圆的圆心C(－1，－k)，半径r＝，当且仅当k＝0时，半径r取得最大值1，此时圆心坐标为C(－1，0)． 知识点二　求圆的一般方程 6．过A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点的圆的一般方程是(　　) A．x2＋y2＋8x＋6y＝0 B．x2＋y2－8x－6y＝0 C．x2＋y2＋8x－6y＝0 D．x2＋y2－8x＋6y＝0 答案　D 解析　设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，所以解得于是所求圆的一般方程是x2＋y2－8x＋6y＝0. 7．过原点且与x轴、y轴的交点分别为A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)的圆的方程为(　　) A．x2＋y2＋ax＋by＝0 B．x2＋y2－ax－by＝0 C．x2＋y2＋ax－by＝0 D．x2＋y2－ax＋by＝0 答案　B 解析　因为圆过三点O(0，0)，A(a，0)，B(0，b)，所以将三点坐标代入圆的一般方程求解即可．本题也可以采用验证法． 8．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且到直线3x＋4y＋4＝0的距离为2，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0 答案　D 解析　设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2，0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0，所以D正确． 9．[多选]已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，则圆的方程为(　　) A．x2＋y2－4x－8y－20＝0 B．x2＋y2－2x－12＝0 C．x2＋y2－10x－8y＋4＝0 D．x2＋y2＋x＋3y－18＝0 答案　BC 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆与y轴的交点为A(0，m)，B(0，n)，令x＝0，则y2＋Ey＋F＝0，所以m，n是这个方程的根，且m＋n＝－E，mn＝F.所以|AB|2＝(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝E2－4F＝(4)2，故E2－4F＝48　①.又点P(4，－2)，Q(－1，3)在这个圆上，所以16＋4＋4D－2E＋F＝0，且1＋9－D＋3E＋F＝0，即4D－2E＋F＋20＝0　②，－D＋3E＋F＋10＝0　③.解①②③得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4.因此圆的方程是x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.故选BC. 10．已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，y1)，D(0，y2)，且x1＋x2＋y1＋y2＝－2，求圆的一般方程． 解　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)， 将两点的坐标代入