第1章 1.6 平面直角坐标系中的距离公式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

1．6　平面直角坐标系中的距离公式 知识点一　两点间距离公式 1．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于点A，B，且线段AB的中点到原点的距离为，则a的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．±1 答案　C 解析　由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝，则B，所以AB的中点为，因为线段AB的中点到原点的距离为，所以 ＝，解得a＝±2. 2．已知M(1，0)，N(－1，0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，则|PM|2＋|PN|2的最小值为________． 答案　 解析　设点P的坐标为(t，2t－1)，则|PM|2＋|PN|2＝(t－1)2＋(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－1)2＝10t2－8t＋4＝10＋≥，所以|PM|2＋|PN|2的最小值为. 3．已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)． (1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积． 解　(1)如图，△ABC为直角三角形，下面进行验证： 解法一：∵|AB|＝＝＝2， |AC|＝＝， |BC|＝＝＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． 解法二：∵kAB＝＝－2， kAC＝＝， ∴kABkAC＝－1，∴AB⊥AC， ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． (2)∵∠A＝90°，|AB|＝2，|AC|＝， ∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝5. 知识点二　点到直线的距离 4．点(－1，0)到直线y＝x＋3的距离为(　　) A．1 B．2 C. D．2 答案　C 解析　点(－1，0)到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离d＝＝. 5．已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是(　　) A.(a－b) B．b－a C.(b－a) D. 答案　C 解析　∵P(a，b)是第二象限的点，∴a<0，b>0，∴a－b<0，从而点P到直线x－y＝0的距离d＝＝(b－a)． 6．[多选]已知点(1，m)到直线x＋y－2＝0的距离等于1，则m的值可以是(　　) A．1－ B．1＋ C．－1 D．3 答案　AB 解析　由点到直线的距离公式得＝1，即|m－1|＝，所以m＝1＋或1－.故选AB. 7．已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是________． 答案　 解析　∵直线l：kx－y＋2＝0恒过点(0，2)，∴M(0，2)．∵点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，∴|MP|的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离d＝＝＝. 知识点三　两条平行线间的距离 8．两条平行直线3x－4y－3＝0和mx－8y＋5＝0间的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由两直线平行，得m＝6，所以mx－8y＋5＝0可化成3x－4y＋＝0，因此两条平行线间的距离d＝＝.故选A. 9．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由于直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，即|PQ|min＝＝. 10．若直线m被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：2x－2y＋5＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角为________． 答案　135° 解析　由两平行线间的距离为＝，直线m被两条平行线所截得的线段长为，可得直线m和这两条平行线的夹角为90°.由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°. 一、选择题 1．点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A. B. C. D．2 答案　A 解析　直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.故选A. 2．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程是(　　) A．3x－4y－11＝0 B．3x－4y＋11＝0 C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0 D．3x－4y＋11＝0或3x－4y＋9＝0 答案　C 解析　到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线与直线3x－4y－1＝0平行，设直线方程为3x－4y＋C＝0，则＝2，∴C＝9或C＝－11.故选C. 3．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　) A．8 B．2 C. D．16 答案　A 解析　由题知所求即为原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，即＝＝8.故选A. 4．若直线3x＋4y＋12＝0和6x＋8y－11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为(　　) A．