第1章 1.5 两条直线的交点坐标-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

1．5　两条直线的交点坐标 知识点一　两条直线的交点问题 1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　) A．(4，1) B．(1，4) C. D. 答案　C 解析　由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是. 2．如果直线l1：4ax＋y＋2＝0与直线l2：(1－3a)x＋y－2＝0相交，交点的纵坐标为8，则a的值为(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　A 解析　由方程组解得由题意知＝8，即a＝. 3．经过直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y－2＝0的交点，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程是________． 答案　4x＋3y－6＝0 解析　解法一：由方程组得即直线l1与l2的交点坐标为(0，2)．∵l⊥l3，l3的斜率为，∴kl＝－，又直线l经过点(0，2)，∴直线l的方程是y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0. 解法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.∵l与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l的方程是12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 4．分别判断下列直线是否相交．若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解　(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 5．直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围． 解　由方程组 解得 ∴两条直线的交点坐标为. ∵交点在第四象限， ∴解得－<m<2. 故所求m的取值范围是. 知识点二　过定点的直线系问题 6．若非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线＋＝1恒过一定点，则定点坐标为(　　) A. B．(1，3) C．(－3，－2) D. 答案　A 解析　∵非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，∴＝＋.∵＋＝1，∴＋y＝1，∴6x＋(a＋1)y＝3a，∴(6x＋y)＋a(y－3)＝0.由解得∴定点坐标为. 7．求证：不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点． 证明　证法一：当m＝1时，直线方程为y＝－4； 当m＝时，直线方程为x＝9. 这两条直线的交点为(9，－4)． 又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，故无论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)． 证法二：将已知方程以m为未知数整理，得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0. 由m取值的任意性，得 解得 所以不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)． 一、选择题 1．设A＝{(x，y)|x＋y－4＝0}，B＝{(x，y)|2x－y－5＝0}，则集合A∩B＝(　　) A．{1，3} B．{(1，3)} C．{(3，1)} D．∅ 答案　C 解析　由得故A∩B＝{(3，1)}． 2．过两条直线l1：x－3y＋4＝0与l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 答案　D 解析　过两条直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0. 3．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　) A．－24 B．6 C．±6 D．以上都不对 答案　C 解析　联立两条直线的方程，得解得x＝.∵两直线的交点在y轴上，∴＝0，∴k＝±6(经检验知符合题意)．故选C. 4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过的定点是(　　) A．(2，3) B．(－2，3) C. D．(－2，0) 答案　B 解析　直线方程可化为(x＋2)a－x－y＋1＝0，由题意得解得故选B. 5．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　当k＝－时，两直线平行，无交点，不符合题意，故k≠－.由得则两直线的交点为，依题意得解得k>，所以直线l的倾斜角的取值范围是. 二、填空题 6．已知A＝{(x，y)|2x－y－1＝0}，B＝{(x，y)|x＋