专题06 二次函数中的存在性问题专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题06 二次函数中的存在性问题专训 【题型目录】 题型一 二次函数中直角三角形的存在性问题 题型二 二次函数中等腰三角形的存在性问题 题型三 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题 题型四 二次函数中特殊角度的存在性问题 题型五 二次函数中平行四边形的存在性问题 题型六 二次函数中矩形的存在性问题 题型七 二次函数中菱形的存在性问题 题型八 二次函数中正方形的存在性问题 【经典例题一 二次函数中直角三角形的存在性问题】 【例1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（2023·陕西西安·统考三模）二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴正半轴交于点，其中点坐标为，且． (1)求二次函数表达式； (2)抛物线上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)将抛物线沿y轴方向向上平移k个单位（），平移后抛物线的顶点为点P，且点P在x轴下方，是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 3．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题二 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 【例2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（2023·云南楚雄·统考三模）如图，抛物线的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，点B的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，抛物线与轴相交于点，，对称轴是，与轴相交于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023·湖北荆州·统考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q，过点P作交x轴于点E，交于点F． (1)求抛物线的解析式： (2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)请用含m的代数式表示线段的长，并求出m为何值时有最大值． 【经典例题三 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【例3】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）已知抛物线：的图象与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)当时，判断的形状； (2)抛物线与抛物线关于原点中心对称，抛物线与轴相交于点．在轴右侧有一点，使得是等腰直角三角形，并且点在抛物线上，求此时抛物线的解析式． 【变式训练】 1．（2023·吉林·统考一模）如图，抛物线与轴交于，两点．直线过点且在第一象限与抛物线相交于点． (1)①求此抛物线的函数解析式；②当时，自变量的取值范围__________； (2)设点的横坐标为，作轴于． ①当为等腰直角三角形时，点的纵坐标为________（用含的式子表示）； ②在①题的条件下，求出点的坐标． 2．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接