第四章　一次函数——一次函数最短路径（将军饮马、造桥选址、胡不归）　讲义　2022—2023学年北师大版数学八年级上册

北师版数学八上一次函数最短路径（将军饮马、造桥选址、胡不归）（答案） 一．将军饮马类（共7小题） 1．如图，在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是线段AB的中点，点N是线段OB的中点，P是x轴上一个动点，则PM+PN的值最小时P点的坐标是 　（2，0）　． ​ 【答案】（2，0）． 2．如图，点A（3，0）在x轴上，直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段OC，BC上的动点，则PD+DA的最小值为 　5　． 【答案】． 3．如图，在平面直角坐标系中，线段AC所在直线的解析式为y＝﹣x+4，点E是AB的中点，点P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 　　． 【答案】． 4．如图，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，点C是AO的中点，点D，E分别为直线y＝x+4和y轴上的两个动点．当△CDE的周长最小时，线段DE的长是 　　． 【答案】． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+与x轴、y轴分别交于A、C两点，在x轴的正半轴有一点B满足OA＝2OB，连接CB． （1）如图1，若点E为线段CB中点，点F在直线AC上，连接EF且满足EF平行于y轴，求S△AEF． （2）在第一问的条件下，若点P为直线AC上一动点，求PB+PE的最小值； （3）如图2，现将△OBC绕O点逆时针旋转60°，得到△OB′C′，将△AOC沿着直线OC′方向平行移动得到△A′O′C″，若在平移过程中当△C″C′B′是等腰三角形，请直接写出点C″的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）点C″的坐标为（﹣，）或（﹣3，）或（1﹣，）或（1+，）． 6．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线CD相交于点D，其中AC＝14，C（﹣6，0），D（2，8）． （1）求直线l函数表达式； （2）如图2，点P为线段AD上的一点，点Q为直线CD上的一点，连接PC，当△PCD的面积为28时，连接PQ、AQ，求PQ+AQ最小时，点Q的坐标； （3）若点E为直线CD上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、D、E、F为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）Q（）；（3）存在，F（﹣6，14）或（8+，）或（8﹣，﹣）或（33，25）． 7．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x﹣交坐标轴于点A和点B，直线l2交y轴于点D（0，3），交x轴于点C，且有2OA＝AC，直线l1与l2相交于点E． （1）求直线l2的解析式． （2）点P是线段CD上一个点，且满足S△ACP＝S△DOC，设点Q的坐标为（m，3），求m的值，使得△EPQ周长最小． （3）如图2，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，将△AEF沿线段AF平移至△A′E′F′处，将△A′E′F′绕点E′旋转，当旋转到一定度数时，点A′会与点F重合，记旋转过程中的△A′E′F′为△A″E″F″，若在整个旋转过程中，直线A″F″分别交x轴、直线AE′于点K、L，是否存在这样的K、L，使△AKL是以KL为腰的等腰三角形？若存在，求此时KL的长． 【答案】（1）直线l2解析式为y＝﹣x+3； （2）m＝； （3）存在这样的K、L，使△AKL是以KL为腰的等腰三角形，此时KL的长是4或2+2． 二．最大值问题（共4小题） 8．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣3），在x轴上有一点P，使得|PA﹣PB|最大，最大值为 　　． 【答案】2． 9．如图1所示，在平面直角坐标系中，点A（0，2），点B在x轴负半轴上，OB＝2OA． （1）求直线AB的解析式； （2）点C（﹣，m）是第三象限内一点，△ABC的面积为6﹣，若点P是x轴上一动点，求|PA﹣PC|的最大值； （3）如图2，在第（2）问的条件下，过点C作直线CD∥x轴，点Q为直线CD上一动点，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形是以AB为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x+2； （2）|PA﹣PC|的最大值为2； （3）点Q的坐标为（﹣，﹣1）或（，﹣1）或（﹣4﹣，﹣1）或（﹣4+，﹣1）． 10．如图1所示，直线l1：y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2：y＝3x﹣4与x轴、y轴分别交于C、D两点，两直线交于点E． （1）求点E的坐标； （2）如图2，在x轴上有一动点P，连接PE、PD，求|PE﹣PD|的最大值； （3）如图1，将△OCD绕平面内某点旋转90°，O的对应点O'落在直线l1上，D的对应点D′落在直线l2上，请直接写出旋转后C的对应点C′的坐标． 【答案】（1）点E的坐标（2，2）； （2）|PE﹣PD|的