北京市第二十中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

2022-2023学年北京二十中高一(下)期中数学试卷 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.每小题均有四个选项,其中只有一个符合题意. 1.(4分)sin330°=( ) A.﹣ B. C. D.﹣1 2.(4分)若cosα<0,tanα>0,则α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.(4分)在四边形ABCD中,=( ) A. B. C. D. 4.(4分)若角α的终边经过点P(1,﹣2),则tanα的值为( ) A.﹣2 B. C. D. 5.(4分)在半径为5cm的扇形中,圆心角为2rad,则扇形的面积是( ) A.50cm2 B.25cm2 C.20cm2 D.10cm2 6.(4分)如图,△ABC中,=,=,D为BC中点,E为AD中点,用和表示为=,则=( ) A.3 B.﹣3 C. D. 7.(4分)将函数f(x)=sinx的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)=( ) A. B. C. D. 8.(4分)已知,是单位向量,=+2.若⊥,则与的夹角为( ) A. B. C. D. 9.(4分)已知函数f(x)=sinωx(ω>0),则“函数f(x)的图象经过点(,1)”是“函数f(x)的图象经过点()”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.(4分)已知点O(0,0),A(2,1),B(1,2).若平面区域D由所有满足=(1≤λ≤2,1≤μ≤2)的点P组成,则D的面积为( ) A. B.3 C.6 D.12 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(5分)cos15°+sin15°= . 12.(5分)已知向量=(1,2),=(2,3),若⊥(t),则实数t的值为 . 13.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1.从A,B,C,D四点中任取两个点作为向量的始点和终点,则的最大值为 . 14.(5分)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象时,列表如下: x ωx+φ 0 π 2π f(x) 0 2 0 ﹣2 0 则= ;= . 15.(5分)已知函数f(x)=sinωx,g(x)=cosωx,其中ω>0,A,B,C是这两个函数图象的交点,且不共线. ①当ω=1时,△ABC面积的最小值为 ; ②若存在△ABC是等边三角形,则ω的最小值为 . 三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.(14分)已知角α是第三象限角,且. (Ⅰ)化简f(α); (Ⅱ)若,求cos(2π﹣α)的值. 17.(14分)已知向量=(x,2x),=(﹣3x,2). (Ⅰ)若与共线,求实数x的值; (Ⅱ)若与的夹角是钝角,求实数x的取值范围. 18.(14分)已知函数f(x)=cosx•tanx. (Ⅰ)求函数f(x)的定义域及的值; (Ⅱ)若,求tanα的值. 19.(14分)已知函数. (Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间及最小正周期; (Ⅱ)当x∈[0,m]时,f(x)的取值范围为,求m的最大值. 20.(14分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示. (Ⅰ)直接写出ω的值; (Ⅱ)再从条件①、条件②中选择一个作为已知,求函数f(x)在区间[﹣,]上的最小值. 条件①:直线x=为函数y=f(x)的图象的一条对称轴; 条件②:(,0)为函数y=f(x)的图象的一个对称中心. 21.(15分)对于正整数n,如果k(k∈N*)个整数a1,a2,…,ak满足1≤a1≤a2≤…≤ak≤n,且a1+a2+…+ak=n,则称数组(a1,a2,…,ak)为n的一个“正整数分拆”.记a1,a2,…,ak均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn;a1,a2,…,ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn. (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设(a1,a2,…,ak)是n的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数n,证明:fn≤gn;并求出使得等号成立的n的值. (注:对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,…,ak)与(b1,b2,…,bn),当且仅当k=m且a1=b1,a2=b2,…,ak=bm时,称这两个“正整数分拆”是相同的.) 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $ 2022-2023学年北京二十中高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.每小题均有四个选项，其中只有一个符合题意. 1．（4分）sin330°＝（　　） A．﹣ B． C． D．﹣