重难点02 二次根式化简求值的五种技巧-2022-2023学年八年级数学下学期期末复习【重点·难点】专练（人教版）

重难点02 二次根式化简求值的五种技巧 ★★★一、二次根式的性质与化简 1、二次根式的基本性质： ①0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③|a|（算术平方根的意义） 2、二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． •（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0） 3、 化简二次根式的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合；运用乘法公式等； 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． ★★★二、二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【题型1 利用二次根式的非负性求值】 1．（2023春•赵县期中）若a＜b（a，b为非零实数），化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：∵a＜b（a，b为非零实数），有意义， ∴﹣a3b＞0， ∴ab＜0， ∴a＜0，b＞0， ∴a． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题关键． 2．（2023春•漳平市期中）已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．2x B．2y C．2x﹣2y D．2y﹣2x 【分析】根据点在数轴的位置判断式子的正负，然后化简． 【解答】解：由数轴可得， x＜y＜0， ∴y﹣x＞0，x﹣y＜0， ∴ ＝y﹣x+（y﹣x） ＝y﹣x+y﹣x ＝2y﹣2x， 故选：D． 【点评】此题的考查了二次根式的性质与化简、数轴、绝对值的性质、合并同类项法则，解题的关键是根据点在数轴的位置判断式子的正负． 3．（2023春•云浮校级期中）若1＜x＜3，则|x﹣3|的值为　 　． 【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：∵1＜x＜3， ∴x﹣1＞0，x﹣3＜0， 原式＝|x﹣3|+|x﹣1| ＝﹣（x﹣3）+（x﹣1） ＝﹣x+3+x﹣1 ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查二次根式的化简，解题的关键是熟练运用绝对值的性质以及二次根式的性质，本题属于基础题型． 4．（2023春•渝中区校级期中）若a，b，c是△ABC的三边长，化简的值为 　 　． 【分析】由于a、b、c为△ABC的三边长，依此可以得到a+b﹣c、a﹣b﹣c的正负情况，然后利用绝对值的定义即可化简求解． 【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边长， ∴a+b﹣c＞0、a﹣b﹣c＜0， ∴ ＝a+b﹣c﹣a+b+c ＝2b． 故答案为：2b． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，同时也利用了三角形的三边的关系和绝对值的定义，有一定的综合性． 5．（2023•威海一模）先化简，再求值：（x＞0，y＞0），其中x，y满足． 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，然后把所给代数式化简后代入计算． 【解答】解：由题意得， 解得x＝3，y＝2， ∴原式． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 6．（2022春•高安市期中）|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： （1）化简：　 　，　 　； （2）若1﹣x，则x的取值范围为 　 　； （3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|c﹣a|． 【分析】（1）利用二次根式的性质化简． （2）先化简二次根式，再求范围． （3）先判断各式正负号，再化简． 【解答】解：（1）|﹣2|＝2，|3﹣π|＝π﹣3． ∴答案为：2，π﹣3． （2）∵|1+x|＝﹣1﹣x． ∴1+x≤0， ∴x≤﹣1． 故答案为：x≤﹣1． （3）由数轴得：a＜b＜0＜c． ∴c﹣a＞0，b﹣c＜0． ∴原式＝|a|﹣（c﹣a）+|b﹣c| ＝﹣a﹣c+a﹣b+c ＝﹣b． 【点评】本题考查二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是求解本题的关键． 【题型2 利用先化简再直接代入求值】 1．（2023春•宁明县期中）先化简，再求值：（3x+1）（3x﹣1）+（x﹣3）2﹣3x（x﹣2）