第05讲 空间向量运算的坐标表示（4种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 空间向量运算的坐标表示（4种题型） 【知识梳理】 一、空间直角坐标系 1.求空间点的坐标：在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 2.空间向量的坐标表示： （1）若则. （2）在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z). 3. 求对称点的坐标 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 二、空间向量线性运算的坐标表示 空间向量坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 三、空间向量的平行与垂直 空间向量的平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 四、空间向量的长度与夹角 空间向量的夹角与长度问题 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 【微点拨】设，是空间中任意两点，则， ，这是空间两点间的距离公式 【考点剖析】 题型一：空间向量的坐标运算 例1.如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）求点的坐标． 【变式】在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)． （1）求点P关于x轴的对称点的坐标； （2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标； （3）求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标 【变式2】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 题型二：判断空间向量平行 例2．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． (1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标； (2)若∥，且，求点P的坐标． 【变式1】（2022·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知向量 ， 若 ，则实数________． 【变式2】已知，；若，且，求的坐标； 题型三：判断空间向量垂直 例3.（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱中，，，，． 在上是否存在点，使得？ 【变式】（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知点，，，设，． (1)求，夹角的余弦值． (2)若向量，垂直，求的值． 题型四：利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角 例4.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. （1）求证：EF⊥CF； （2）求与所成角的余弦值； （3）求CE的长. 【变式】如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． （1）求BN的长； （2）求A1B与B1C所成角的余弦值； 【变式2】（2022·江苏·高二阶段练习）如图所示，在正方体中，，点M，N分别在和DB上，且，． (1)求线段MN的长； (2)求直线和平面DMN所成角的大小． 【过关检测】 一．选择题（共8小题） 1．（2022秋•川汇区校级期末）在空间直角坐标系中，若点A（﹣1，6，8），B（1，5，7），则|AB|＝（　　） A．2 B． C．6 D． 2．（2022秋•怀柔区期末）若点A（1，2，3），点B（4，﹣1，0），且，则点C的坐标为（　　） A．（3，0，1） B．（2，1，2） C． D． 3．（2022秋•重庆期末）已知点A（﹣