6.5 垂直关系（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

6.5 垂直关系 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：直线与平面垂直 必会题型二：平面与平面垂直 必会题型三：空间直线、平面的垂直综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 直线与直线垂直 1．两条异面直线所成的角的定义 如图8-6.1-1(1)(2)，已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把直线与所成的角叫作异面直线与所成的角(或夹角)． 2．两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线与直线垂直，记作． 3．异面直线所成角的范围 当两条直线相互平行时，我们规定它们所成的角为．所以空间两条直线所成角的取值范围是，因此异面直线所成角的取值范围是． 必会知识二 直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的 任何 一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直． 2．直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 简记：线面垂直⇒线线平行； 符号表示：若m⊥α，n⊥α，则m//n． [名师点睛]直线与平面垂直的其他性质①一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；②两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③垂直于同一直线的两个平面平行． 3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． 简记：线线垂直⇒线面垂直； 符号表示：m⊂α，n⊂α，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α． 4．直线与平面所成的角：如图，一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直， 这条直线称为这个平面的斜线，斜线和平面的交点A称为斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影．平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．直线与平面所成的角‍‍的取值范围是‍． 5．点面距、线面距、面面距 (1)点到平面的距离：从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离。 (2)直线到平面的距离：如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离． (3)平面到平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离相等，把它叫作这两个平行平面间的距离。 必会知识三 平面与平面垂直 1．二面角的定义：从一条直线出发的 两个半平面所组成的 图形，叫作二面角，这条直线叫作 二面角的棱 ，这两个半平面叫作 二面角的面 ．如图棱l，面分别为α、β的二面角记作二面角α－l－β；以二面角的棱l上的任意一点O为端点，在这两个面内分别作垂直与棱的两条射线OA、OB，则OA、OB所成的角∠AOB叫做二面角的平面角，且∠AOB∈[0，]． 2．两个平面互相垂直：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 3．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 垂直 于它们交线的直线 垂直 于另一个平面． 简记：面面垂直⇒线面垂直； 符号表示：若α⊥β，α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则m⊥β． [名师点睛]面面垂直的其他性质和结论 (1)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面． (2)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内． (3)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． (4)三个两两垂直的平面的交线两两垂直． 4．两个平面互相垂直的判定定理：如果一个平面 经过 另一个平面的一条 垂线 ，那么这两个平面互相垂直． 简记：线面垂直⇒面面垂直； 符号表示：m⊂α，m⊥β⇒α⊥β． 特别提示：应用判定定理证明平面与平面垂直的关键是：在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：直线与平面垂直 1．（2023春·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（    ）    A． B． C．平面 D．平面平面 3．[多选]（2023·全国·高一专题练习）如图，三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形，是中点，则下列叙述不正确的是（    ）    A．与是异面直线 B．平面 C．，为异面直线，且 D．平面