第03讲 空间向量基本定理（8种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲 空间向量基本定理（8种题型） 【知识梳理】 一、空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 二、空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 三、用空间向量基本定理解决相关的几何问题 1. 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【考点剖析】 题型一 ：空间向量基底概念及辨析 1、判断题已知向量是空间的一组基，则向量也是空间的一组基；( ) 2．空间向量，，不共面是否可以推出其中任意两个向量均不平行？ 3．已知向量、、可以构成空间向量的一组基底，则这三个向量中哪一个向量可以与向量和向量构成空间向量的另一组基底？ 题型二：用空间基底表示向量 1．（多选题）如图，在长方体中，、、分别是棱、、上的点，且满足，，，则（       ） A． B． C． D． 2．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长． 题型三：用空间向量基本定理及其应用 1.下列关于空间向量的命题中，正确的有______. ①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； ②若非零向量，，满足，，则有； ③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面； ④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底. 2.已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若x，则x+y+z=_____. 3.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知，，，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底表示向量. 题型四：空间三向量共面或四点共面 1.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面. 2.已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足. （1）判断，，三个向量是否共面； （2）判断点是否在平面内. 题型五：平行问题 1.已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. （1）求证：，，，四点共面； （2）求证：平面； （3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有. 题型六：垂直问题 2.在所有棱长均为2的三棱柱中，，求证： （1）； （2）平面. 题型七：夹角问题 3.已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 题型八：求长度 4.如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记. （1）试用表示； （2）求模. 【过关检测】 一．选择题（共8小题） 1．（2022秋•平江县期末）若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是（　　） A． B． C． D．2 2．（2022秋•青浦区校级期末）已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且＝m，则m的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．﹣3 3．（2022秋•黄埔区校级期末）三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且＝，＝，＝，用，，表示，则等于（　　） A．（﹣++） B．（+﹣） C．（﹣+） D．（﹣﹣+） 4．（2022秋•新余期末）已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量，表示向量是（　　） A． B． C． D． 5．（2022秋•邢台期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，则x+y+z＝（　　） A．1 B． C． D． 6．（2022秋•黄山期末）若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A．+，，﹣ B．，+，﹣ C．+，﹣， D．+，++， 7．（2022秋•鄠邑区期末）已知空间四面体OABC中，对空间内任一点M，满足，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（　　） A． B． C． D． 8．（2022