25 抛物的定义及其标准方程专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习

新东方·老师好高一数学 中小学全科一对一教育·高二数学 目录 抛物线的定义和标准方程 2 【课前诊断】 2 【知识点一:抛物线的定义及标准方程】 3 考点一:抛物线的定义及标准方程 4 【知识点二:抛物线的几何性质】 5 考点一:抛物线的几何性质 5 【知识点三:抛物线与最值】 6 【小试牛刀】 8 【巩固练习——基础篇】 10 【巩固练习——提高篇】 12 抛物线的定义和标准方程 【课前诊断】 成绩（满分10）:完成情况:优/中/差 1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则等于 （A） （B） （C）4 （D） 2.双曲线的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线,交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为 （A） （B） （C） （D） 3.点在双曲线的右支上,若点到右焦点的距离等于,则. 4.在平面直角坐标系中,方程表示焦点在轴上的双曲线,则的取值范围为. 5.已知圆过双曲线的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是. 【知识点一:抛物线的定义及标准方程】 一、抛物线定义 1.平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线。 2.对高档耐用品需求量的影响比较大(需求弹性大)。 二、抛物线的标准方程的四种形式: 标准方程 图形 对称轴 焦点坐标 准线方程 轴 轴 【典型例题】 考点一:抛物线的定义及标准方程 例1.到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是 （A）圆 （B）抛物线 （C）线段 （D）直线 练1.若点到直线的距离比它到点的距离小1,则点的轨迹为 （A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 练2.已知点,直线,点是上的动点,过点垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点,则点的轨迹是 （A）抛物线 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）直线 例2.抛物线的焦点坐标是 （A） （B） （C） （D） 练1.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为 （A） （B） （C） （D） 练2.抛物线的焦点在直线上,则 （A） （B） （C） （D） 例3.已知抛物线的焦点为,是上一点,,则 （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 练1.已知点在抛物线上,抛物线的焦点为,那么. 练2.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点,若,则的中点到轴的距离等于 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【知识点二:抛物线的几何性质】 （根据抛物线的标准方程研究性质）: 1.范围:抛物线在轴的右侧,开口向右,向右上方和右下方无限延伸. 2.对称性:以轴为对称轴的轴对称图形,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 3.顶点:抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.此处为原点. 4.离心率:抛物线上的点与焦点和准线距离的比叫做抛物线的离心率,用表示,. 【典型例题】 考点一:抛物线的几何性质 【例1】抛物线上到其焦点距离为5的点有 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）4个 【例2】已知点,过抛物线上一点的直线与直线垂直且交于点,若,则 （A）0 （B） （C） （D） 【例3】已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则 （A） （B）3 （C） （D）2 【例4】过点且斜率为的直线与抛物线相交于两点,若为中点,则的值是. 【例5】直角坐标系中,点与点关于原点对称.点在抛物线上,且直线与的斜率之积等于,则. 【例6】已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点在上且,则的面积为 （A）4 （B）8 （C）16 （D）32 【知识点三:抛物线与最值】 【典型例题】 例1.设抛物线的焦点为,为抛物线上一点,,则的取值范围是. 例2.已知点是抛物线上的一个动点,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为 （A） （B）3 （C） （D） 练1.已知点是抛物线上的动点,且点在轴上的射影是,点,则的最小值是 （A） （B） （C） （D） 例3.抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又点,则的最小值是 （A） （B） （C） （D） 练1.已知抛物线的焦点为,过点倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于两点,则的值等于 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 例4.已知点及抛物线,若抛物线上点满足,则的最大值为. 例5.如图,设抛物线的焦点为,不经过焦点的直线上有三个不同的点,其中点在抛物线上,点在轴上,则与的面积之比是 （A） （B） （C） （D） 例6.设为抛物线上一点,为抛物线的焦点,以为圆心,为半径的圆和抛物线的准线相交,则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 例7.已知是抛物线的焦点,点在该抛物线上且位于轴的两侧,（其中为坐标原点）,则与面积