数学-2024届新高三开学摸底考试卷（上海专用）

2024届新高三开学摸底考试卷（上海） 本试卷共21题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题：本题共12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分。 1．设集合，则__________. 2．复数，则__________． 3．的展开式中的系数是______． 4．已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 5．在一次高二数学联考中，某校数学成绩．已知，则从全校学生中任选一名学生，其数学成绩小于100分的概率为________． 6．函数，的值城为______． 7．若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为______． 8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，分别为圆柱上､下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若底面圆的半径为，，则圆柱的外接球的表面积与圆锥的侧面积的比值是______.    9．已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为________． 10．已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________. 11．已知等比数列的首项，公比，，且，则的前2023项和为______. 12．若函数的图象上存在不同的两点，坐标满足关系：，则称函数与原点关联．给出下列函数： ①；     ②；   ③；    ④． 其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）． 二、选择题：本题共4小题，13、14题每题4分，15、16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 13．已知两个平面，，及两条直线，．则下列命题错误的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，是异面直线，，，，，则 14．函数在区间上的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   15．下列说法不正确的是（    ） A．甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18 B．设一组样本数据，，…，的方差为2，则数据，，.…，的方差为32 C．在一个列联表中，计算得到的值，则的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大 D．已知随机变量，且，则 16．在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（    ） A． B． C． D． 三、解答题：共14+14+14+18+18=70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知，，其中，函数的最小正周期为. (1)求函数的单调递增区间； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围. 18．如图，已知三棱柱，，，为线段上的动点，．    (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，，求与平面所成角的正弦值． 19．浙江省是第一批新高考改革省份，取消文理分科，变成必考科目和选考科目．其中必考科目是语文、数学、外语，选考科目由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，从镇海中学高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表： 选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3 人数 20 40 40 (1)从这100名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率； (2)从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数之差的绝对值，求随机变量X的数学期望； (3)学校还调查了这100位学生的性别情况，研究男女生中纯理科生大概的比例，得到的数据如下表：（定文同时选考物理、化学、生物三科的学生为纯理科生） 性别 纯理科生 非纯理科生 总计 男性 30 女性 5 总计 100 请补齐表格，并说明依据小概率值的独立性检验，能否认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关． 参