重难点03全等三角形中“截长补短”模型-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）

重难点03全等三角形中“截长补短”模型 1.识别几何模型。 2.利用“截长补短”模型解决问题 定 义 示例剖析 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法： ⑴过某一点作长边的垂线； ⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短法： ⑴延长短边。 ⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。 例1如图，在中，，于D，求证：． 例2.如图，在中，，的平分线交于点．求证：． 【变式1】如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD 【变式2】如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE. 【变式3】如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD. 【变式4】如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CE=AC. 【变式5】如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，求证：． 【变式6】已知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，． 求证：． 例4．已知：在中，，，求证：． 【变式1】如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE. 【变式2】已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-∠ADC 例5.正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，请问现在EF、BE、 CF又有什么数量关系？ 【变式1】正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ 【变式2】正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45°，请问现在EF、 DE、BF又有什么数量关系？ 一、单选题 1．（2022秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 2．（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________． 3．（2020秋·江苏无锡·八年级统考期中）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示） 4．（2019春·湖南张家界·八年级校考期中）如图，四边形ABCD为正方形，点E在CB的延长线上，AF平分∠DAE交DC的延长线于点F，若BE＝8，CF＝9，则CD的长为______． 三、解答题 5．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期中）在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 6．（2023秋·广西南宁·八年级校考期末）已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 7．（2023春·全国·七年级期末）问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸： (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点