重难点02全等三角形中“倍长中线”模型-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）

重难点02全等三角形中“倍长中线”模型 1.识别几何模型。 2.利用“倍长中线”模型解决问题 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 图一 图二 图三 例1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC． 【变式1】如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 【变式2】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． 【变式3】如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE． 例2.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F． 求证：∠AEF=∠EAF． 【变式1】如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF． 求证：AD为△ABC的角平分线． 例3.如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明． 【变式】阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：． 一．选择题（共2小题） 1．（2022秋•如皋市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 2．（2020秋•江阴市校级月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，则中线AD的取值范围是（　　） A．1＜AD＜7 B．1＜AD＜8 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜5 二．填空题（共3小题） 3．（2021秋•东港区校级期末）△ABC中，AB＝10，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　． 4．（2022秋•江都区校级月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是　 　． 5．（2021秋•江阴市校级月考）在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　． 三．解答题（共5小题） 6．（2022秋•镇江月考）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 7．（2021秋•滨湖区校级月考）如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE． （1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明． （2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围． 8．（2022秋•句容市月考）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE． ①证明△ABD≌△ECD； ②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是 　 　； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF． 9．（2020•徐州模拟）（1）阅读理解： 如图①，在