专题1.15 《探索三角形全等》作辅助线（三）-倍长中线（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.15 《探索三角形全等》作辅助线（三）-倍长中线 （知识讲解） 图一 图二 图三 【典型例题】 1、（2020·江西南昌市·）如图所示，在中，为中线，，求的度数． 【答案】45° 【分析】 延长AD至E，使，连结，则，根据全等三角形的性质得EC=AB，，由AB=2AD可得EC=AE，可得△AEC是等腰直角三角形，即可得∠DAC的度数． 解：延长AD至E，使，连结， ∵BD=CD，∠ADB=∠EDC ∴， ∴EC=AB，， ∵AB=2AD， ∴AB=AE=EC ∴△AEC是等腰直角三角形， ∴∠DAC=45°. 故答案为45°. 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形. 举一反三： 【变式】如图所示，为的角平分线，分别在上，，若． 求证：． 【答案】详见解析 【分析】延长FD至G，使，连结CG，可证，则EF=CG，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得 ，根据等角对等边得AC=CG，即可得出结论. 证明：延长FD至G，使，连结CG， ∵DC=DE，∠EDF=∠CDG， ∴， ， ， ， 又， ， ， . 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等． 2、 阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】 （1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可， （2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中 由三边关系， （3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案， 解答：（1）如图