重难点01全等三角形中“一线三等角”模型-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）

重难点01全等三角形中“一线三等角”模型 1.识别几何模型。 2.利用“一线三等角”模型解决问题 图一 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 图二 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 例题1．如图，∠A＝∠B＝90°，E是线段AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2 ． （1）求证：≌； （2）若CD＝10，求的面积． 【变式1】 ．已知，如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC． （1）求证:△ABP≌△PDC （2）若AB=3，CD=4，连接AC，求AC的长． 【变式2】 如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D、E． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）猜想线段AD、BE、DE之间具有怎样的数量关系，并说明理由； （3）题设条件不变，根据图2可得线段AD、BE、DE之间的数量关系是　 ． 【变式3】 已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE． （1）如图①，若，，，求证； （2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式4】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由. 例2、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. 当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论. 一．选择题（共5小题） 1．（2021秋•兰陵县期末）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 2．（2021秋•合肥期末）如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC＝20，AB＝8，则BE的长度为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 3．（2020秋•襄汾县期末）如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接AE、BD、FG，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，则下列结论中：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④CF＝CG，以上结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2021秋•龙湾区期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．保持不变 5．（2021秋•德州期中）如图，A、C、E三点在向一直线上，△ABC、△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，OC，则有以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．其中正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题（共4小题） 6．（2021秋•邗江区期末）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　 　cm． 7．（2021秋•苏州期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4．分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如图所示作长方形HFPQ，延长BC交PQ于G．则长方形CDPG的面积为 　 　． 8．（2022秋•靖江市月考）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝　 　． 9．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，以A（2，0）、B（0，t）为顶点作等腰直角△ABC（其中∠ABC＝90°，且点C落在第一象限内），则点C的坐标为 　 　（用t的代数式表示）． 三．解答题（共15小题