考点10 立体几何小题17种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学期中期末复习备考讲义（人教A版2019必修第二册）

考点10 立体几何小题17种常见考法归类 1.辨别空间几何体的两种方法 2.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.平行于x轴的线段的平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段的平行性不变，长度减半. 3.原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：（1）S直观图＝S原图形；（2）S原图形＝2S直观图. 4. 利用空间几何体的展开图可以解决以下问题： （1）求几何体的表面积或侧面积；（2）求几何体表面上任意两个点的最短表面距离. 5.求空间几何体表面积的类型及方法 （1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； （2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系； （3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积. 6.求空间几何体的体积的三种方法 7.几个与球有关的切、接常用结论 （1）设正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. （2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝； （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 8.外接球的半径的求解策略 （1）补体法：把几何体补成长方体、正方体、正四面体，再利用它们外接球半径公式求解； （2）性质法：球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点的连线与弦垂直. 9.“切”的问题的处理规律 （1）找准切点，通过作过球心的截面来解决； （2）体积分割是求内切球半径的通用方法. 10.处理与球切、接有关最值问题的解题策略 （1）截面法：①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. （2）代数法：找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法（如三角函数等）等. 11.共面、共线、共点问题的证明方法 12.空间两直线位置关系的判定方法 13.平移法求异面直线所成的角的三个步骤 （1）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； （2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角； （3）三求：解三角形，求出所作的角. 14.空间几何体的交线与截面问题 　　空间几何体的交线与截面问题是立体几何的难点也是高考的热点，利用平面的性质是处理交线与截面问题的关键. （1） 作交线的方法有两种： ①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作交线. （2）常见空间几何体截面的作法 ①直接法：若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面. ②平行线法：若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面. ③延长线法：若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面. 15.线面平行的证明方法 （1）定义法：一般用反证法； （2）判定定理法：关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程； （3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面. 16.构造平行直线的常用方法 （1）构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平行四边形对角线的交点找中点，从而构建中位线； （2）构建平行四边形：可以利用已知的平行关系（如梯形的上下底边平行）或构建平行关系（如构造两条直线同时平行于已知直线），从而构建平行四边形. 17.线面平行性质的应用 　　证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行. 提醒　应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤. 18.证明面面平行的常用方法 （1）利用面面平行的判定定理； （2）利用垂直于同