考点11 立体几何大题15种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学期中期末复习备考讲义（人教A版2019必修第二册）

考点11 立体几何大题15种常见考法归类 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行”） ⇒a∥α 续表 文字语言 图形语言 符号语言 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”） ⇒l∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”） ⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 3.直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面； （2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 4.直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°； （2）范围：. 5.平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角； ③范围：[0°，180°]. （2）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直； （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 6.空间距离 （1）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离； （2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离； （3）两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 7、立体几何中的平行关系 （1）利用几何体的性质 长方体相对的面(长方形)互相平行，这两个相对的长方形中对应线段平行且相等。 （2）利用三角形的中位线 三角形的中位线平行于底边且等于底边长的一半。 （3）构造平行四边形 （4）利用三角形中成比例的线段相互平行 在三角形ABC中，若则DE//BC （5）利用线面平行的性质 （6）利用平面与平面平行的性质 8、立体几何中的垂直关系 （1）线与面、面与面的垂直可转化为线与线的垂直.线与线的垂直关系模型常见的有： ①等腰(等边)三角形中"三线合一"性质的应用模型； ②菱形(正方形)对角线互相垂直性质的应用模型； ③线面垂直的定义模型； ④满足勾股定理的三角形模型； ⑤直径所对的圆周角是90°； ⑥墙角模型(三条直线两两垂直)； ⑦拐弯模型； ⑧两平行直线中的一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于这条直线. （2）只要熟练运用好上面的几种垂直模型，立体几何中的垂直关系便可迎刃而解. 9、二法求异面直线所成的角 （1）平移法 求解异面直线所成角，可以通过平移其中的一条或者两条直线，形成相交直线，实现空间图形的平面化，把问题转化为解三角形问题，使平面几何与立体几何之间建立有效的联系.利用“平移法”求解，一般有以下两种思路：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点构造平行线(如三角形的中位线、构造平行四边形等). （2）补形法 通过“补形平移”,有助于利用特殊空间几何体的图形特征，达到合理转化为构造异面直线所成角的目的. 10、四法求“线面角” （1）平移法 平移法是指利用图形平移变换的性质，构造满足求解的条件，进而得出结论的方法.在运用平移法求解线面角问题时，我们可以利用图象平移的性质：图形移动位置后其大小、形状、面积等都不改变，将分散的条件关联起来，以便将立体几何问题转化为平面几何问题来求