第10讲 锐角三角比的意义-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第10讲 锐角三角比的意义 掌握锐角的正切和余切、正弦和余弦的概念 重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值 难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为解直角三角形做好准备． 模块一：正切和余切 1、 正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比 叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．a c A B C b ． 2、 余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比 叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． 【例1】 如图，在中，，，垂足为点Q． （1） ．P N M Q （2） ______，______．（用正切或余切表示） 【例2】 在中，，AC = 4，BC = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值． 【例3】 在中，，AC = 4，AB = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值． 【例4】 已知，在中，，BC = 9，tan A = ． 求：（1）AB的长；（2）tan B的值． 模块二：正弦和余弦 1、 正弦a c A B C b 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比 叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2、 余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比 叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． P N M Q 【例5】 如图，在中，，，垂足为点Q． （1） ． （2） ______，______．（用正弦或余弦表示） 【例6】 在中，，AC = 4，AB = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值． 【例7】 已知，在中，，sin A =，求sin B的值． 模块三：锐角的三角比 1、 锐角的三角比 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） A B C 【例8】 如图，在中，，AB = 5，BC = 4，求的四个三角比的值． 【例9】 在中，，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求、、和． 【例10】 已知等腰中，底边BC = 20 cm，面积为40 cm2，求sin B和tan C． 【例11】 直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，求的值．A B C D E 6 8 【例12】 如图，在梯形ABCD中，AD // BC，ABAD，对角线AC、BD相交于点E， BDCD，AB = 12，，求：（1）的余弦值；（2）DE的长．A B C D E 一、单选题 1. （2022·上海·一模）如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2. （2022·上海·黄浦一模）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3. （2023·上海·一模）在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（    ） A． B． C． D． 4. （2022·上海·一模）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 5. （2022·上海·名校校考）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（        ） A． B． C． D． 二、填空题 6. （2022·上海·名校校考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝_________________． 7. （2022·上海·华育名校校考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____． 8. （2022·上海·名校校考）如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为_____． 9. 4cos30°++|﹣2|=__． 10. 若sinA=，则锐角∠A=__°． 11. （2022·上海·二模）如图，菱形中，，对角线，E为上一点且，连接交于点F，过点F作于点G，则的长度为______． 12. （2022·上海·二模）在矩形中，，，若点在边上，连接、，是以为腰的等腰三角形，则的值为______ ． 三、解答题 13. （2022·上海·三模）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 1. 在中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小