精品解析：江苏省无锡市市北高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

江苏省无锡市市北高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列判断正确的是（ ） A. 圆锥的侧面展开图可以是一个圆面 B. 底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 C. 一个西瓜切3刀最多可切成8块 D. 过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个 2. 已知复数，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（ ） A. 3 B. C. D. 4. 在中，，，，那么等于　　 A. B. C. D. 5. 已知外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，，其面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知四面体的外接球的球心O 在AB 上，且平面ABC，，若四面体的体积为，求球的表面积　　 A. B. C. D. 8. 在ABC中，，P为段AB上动点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，则正确的有（ ） A. 若，则 B. 与共线的单位向量是 C. 若，则在方向上的投影向量是 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围为 10. 已知，，则下列说法正确的有（ ） A. 若为实数，则； B. 的共轭复数是； C. 最小值是4； D. 满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以1为半径的圆． 11. 如图所示，圆锥的底面半径，高，是底面圆周的一条直径，M为底面圆周上与B不重合的一点，则下列命题正确的是（ ） A. 圆锥体积为 B. 圆锥的表面积为 C. 的面积的最大值是 D. 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为 12. 在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 定义一种运算如下：，则复数的共轭复数是__________． 14. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________． 15. 今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的圆的内接四边形区域，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．其中，，，（单位：米），则__；四边形的面积为 __（平方米）． 16. 对任意两个非零的平面向量和，定义和之间的新运算：.若非零的平面向量，满足：和都在集合中，且.设与的夹角，则______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知平面向量，. （1）若与垂直.求； （2）若向量，若与共线，求. 18. 在①；②复平面上表示的点在直线上；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答： 已知复数；（为虚数单位），满足 . （1）若，求复数以及； （2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值 19. 如图，在四棱锥中，，，，，分别是和的中点， （1）证明：； （2）证明：平面． 20. 某农场有一块底角为的等腰三角形的空地，其中边的长度为400米，为迎接“五一“观光游，欲在边界上选择一点，修建观赏小径，，其中，分别在边界，上，小径，与边界的夹角都是，区域和区域内种植郁金香，区域内种植月季花． （1）探究“观赏小径，的长度之和是否为定值？请说明理由 （2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径，当点在何处时，三条小径长度之和最小？并求出最小值. 21. 重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄（如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为（即）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长且点，落在小路上，记弓形花园的顶点为，且，设. （1）将，用含有的关系式表示出来； （2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即，长度），才使得喷泉与山庄距离即值最大？ 22. 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面