2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长； (3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标 2．如图，直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、、三点． (1)填空：，　 　、　 　，　 　、　 　，　 　； (2)求抛物线的函数关系式； (3)为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点A为，与y轴负半轴交于点，其对称轴是直线． (1)求二次函数的解析式； (2)圆为的外接圆，点E是延长线上一点，的平分线交圆于点D，连接，求的面积； (3)在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得以P，C，B为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，二次函数图像交轴于点，（在的左侧），与轴交于点，轴，交抛物线于另一点，且，为抛物线上一点，轴，与轴交于，与，分别交于点，． (1)求二次函数解析式； (2)当在上方时，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出与的相似比，若不存在，说明理由． (3)点关于直线的对称点为，当点落在抛物线的对称轴上时，此时点的坐标为________． 5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为，与y轴相交于点C，连接，已知点． (1)求两点坐标和抛物线的解析式； (2)设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与重合），过点P作，垂足为点． ①点P在运动过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值以及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由： ②当以为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标． 6．如图，已知抛物线交x轴于点A，与直线交于点B（非原点），过点B作轴交抛物线于点C，． (1)求a的值． (2)若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．求线段的最大值． (3)若P是射线上一点，过点P作x轴的垂线分别交直线与抛物线于E，F，作点F关于直线的对称点G，连结，．是否存在与相似，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点G的坐标． 7．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，． (1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)如果以点P，N，B，O为顶点的四边形为平行四边形，求的值； (3)如果以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若M是抛物线上位于线段BC上方的一个动点，求△BCM的面积的最大值； (3)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系内，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，且．过点A的直线与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作于点H． (1)抛物线的表达式中，________，________； (2)在点P的运动过程中，若取得最大值，求这个最大值和点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与相似． 10．如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值． 11．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，联结、． (1)求该抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如果点在抛物线上，平分，求点的坐标： (3)如果点在抛物线的对称轴上，与相似．求点的坐标． 12．如图，抛物线y＝与x轴交于点A、B，点A、B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BC＝CD． (1)求b、c的值； (2)求直线BD的直线解析式； (3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下