第17章 勾股定理 期末压轴题训练2022-2023学年人教版八年级数学下册

第17章 勾股定理 期末压轴题训练 1．已知中，. （1）如图1，在中，，连接、，若，求证： （2）如图2，在中，，连接、，若，于点，，，求的长； （3）如图3，在中，，连接，若，求的值. 2．（1）如图1，在中，，，平分. 求证：. 小明为解决上面的问题作了如下思考： 作关于直线的对称图形，∵平分，∴点落在上，且，.因此，要证的问题转化为只要证出即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程. （2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题： 如图3，在四边形中，平分，，，，求的长. 3．已知中，，，过顶点作射线. （1）当射线在外部时，如图①，点在射线上，连结、，已知，，（）. ①试证明是直角三角形； ②求线段的长.（用含的代数式表示） （2）当射线在内部时，如图②，过点作于点，连结，请写出线段、、的数量关系，并说明理由. 4．如图1，在等腰直角三角形中，动点D在直线AB（点A与点B重合除外）上时，以CD为一腰在CD上方作等腰直角三角形，且，连接AE． （1）判断AE与BD的数量关系和位置关系；并说明理由． （2）如图2，若，P，Q两点在直线AB上且，试求PQ的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AB的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由． 5．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90° （1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF ①求证：△AED≌△AFD； ②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长； （2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长． 6．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE． （1）求证：AE＝BD； （2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系； （3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD＝，求线段AB的长． 7．定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． （1）已知点、是线段的勾股分割点，若，，求的长； （2）如图2，在中，，点、在斜边上，，求证：点、是线段的勾股分割点（提示：把绕点逆时针旋转）； （3）在（2）的问题中，，，求的长． 8．阅读与理解： 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图），怎样证明呢？ 分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以，点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 感悟与应用： （1）如图（a），在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图（b），在四边形中，平分，，，， ①求证：； ②求的长． 9．如图，△ABC中AC=BC，点D，E在AB边上，连接CD，CE． (1)如图1，如果∠ACB=90°，把线段CD逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF， ①求证：△ACD≌△BCF； ②若∠DCE=45°， 求证：DE2=AD2+BE2； (2)如图2，如果∠ACB=60°，∠DCE=30°，用等式表示AD，DE，BE三条线段的数量关系，说明理由． 10．如图，将一长方形纸片放在平面直角坐标系中，，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相同的速度沿向终点运动，当点、其中一点到达终点时，另一点也停止运动． 设点的运动时间为:（秒） （1）_________，___________（用含的代数式表示） （2）当时，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标及直线的解析式； （3）在（2）的条件下，点是射线上的任意一点，过点作直线的平行线，与轴交于点，设直线的解析式为，当点与点不重合时，设的面积为，求与之间的函数关系式． 11．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为 （1）在中，若，，求的值． （2）如图2，在中，，，求，的值． （3）如图3，在中，是边上的中线，，，，求和的长． 12．已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点的一条直线交于点，若，显然直线是的关于点的二分割线． （1）在图2的中，，．请在图2中画出关于点的二分割线，且角度是 ； （2）已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足:①为最小角