1.3.1线段的垂直平分线　课件　　2022—2023学年北师大版数学八年级下册

1.3.1线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明 1 某学校为了积极响应“双减”政策，决定在向上路修建一个课后活动室，试问该活动室应建于何处，才能使得它到初中部、小学部的距离相等？ ● A ● B 情境导入 向上路 小学部 初中部 B B′ E F E F B (B′) EB=EB′ ， FB=FB′ 知识点一：线段垂直平分线的性质 B B’ 动手操作： 全品文教初中 验证 证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB=90° 又∵AC =CB，PC =PC， ∴△PCA ≌△PCB（SAS） ∴PA =PB． A B P C l 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 文字语言： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理 结论 几何语言： ∵P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB. P A B ∟ 1.判断：直线EF垂直平分线段AB，则AE=AF. A B E F ∟ 跟踪训练： 2.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点. 求证：∠ECF＝∠EDF.（课本P23随堂练习） 证明：∵AB是线段CD的垂直平分线， ∴EC＝ED，FC＝FD. 在△ECF和△EDF中， ∴△ECF≌△EDF(SSS)． ∴∠ECF＝∠EDF. 知识点二：线段垂直平分线的判定 逆命题： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 它是真命题吗？你能证明吗？ 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 证明： 验证 （1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB， ∴点P为线段AB的中点， ∴点P在线段AB的垂直平分线上； A B P 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. （2）当点P在线段AB外时， ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 证法二：取AB的中点C，作直线PC． ∵AP=BP，AC=CB， ∴PC⊥AB ∴直线PC是线段AB的垂直平分线， ∴P点在线段AB的垂直平分线上． 证法三：过P点作∠APB的角平分线． ∵AP=BP，∠1=∠2 ∴PC⊥AB，AC=CB ∴直线PC是线段AB的垂直平分线， ∴P点在线段AB的垂直平分线上． 文字语言： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定定理 结论 几何语言： ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. P A B ∟ 1.判断：若PA=PB，则过点P的直线MN是线段AB的垂直平分线。 A B M N P 跟踪训练 2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明：∵AB=AC， ∴A在线段BC的垂直平分线 ∵OB=OC， ∴点O在线段BC的垂直平分线. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. 还有其他的方法吗？ 证明：延长AO交BC于点D. ∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO（SSS）. ∴∠BAO=∠CAO. ∵AB=AC， ∴AD⊥BC，BD＝CD. ∴直线AD，即AO垂直平分线段BC. D 思考：在以线段BC为底边的所有等腰三角形中，它们的另一个顶点的位置有什么共同特征？ B C ∟ 这些顶点都在线段BC的垂直平分线上 课堂演练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，求∠AFC的度数．（课本习题1.7 第1题） 思考：线段BF与线段FC有什么数