专题1.4 解一元二次方程——直接开平方法和配方法（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.4 解一元二次方程——直接开平方法和配方法 （知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】用直接开平方法解一元二次方程 利用平方根的定义，直接开平方法求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 类型： （1）； （2） （3） 【例1】方程的两个根是（    ） A.， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据直接开平方法求解即可． 解：， ， ， ， 故选：D． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键． 【变式1】若，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】用直接开平方法即可进行解答． 解：， ， 或， ∵，， ， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了直接开平方法，解题的关键是掌握用直接开平方法求解一元二次方程的方法和步骤． 【变式2】已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（　　） A． ， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】把看作关于的一元二次方程，则或，然后解两个一次方程即可． 解：方程、，均为常数且的解是，， 对于关于的一元二次方程的解， 即或， 即，， 关于的一元二次方程的解是，． 故选：C． 【点拨】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 【知识点2】用配方法解一元二次方程 用配方法解一元二次方程的步骤： （1） 化：方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1； （2） 移：把一元二次方程常数项移到方程的另一边； （3） 配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化为 （4） 解：开方，解得： 【例2】用配方法解方程： （1）； （2）． 【答案】(1)，； (2) ， 【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． （1）解：， ， ， ， ，； （2）， ， ， ， ， ， ，． 【点拨】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键． 【变式1】用配方法解下列一元二次方程： （2）； （2） ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 解：（1）， ， ， ， （2）， ， ， ， ， ∴ 【点拨】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟记配方的步骤是解此题的关键． 【变式2】用配方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 解:（1） 或 ，． （2）化成 即 ， 【点拨】考查解一元二次方程-配方法，解题关键是掌握配方法的步骤：①将常数项移到方程的右侧．②将二次项系数化为1．③结合直接开方法求解． 【题型一】配方法求值 【例1】已知，则的最小值是（    ） A．8 B． C． D．9 【答案】A 【分析】由已知得，注意x的取值范围，代入再配方，利用非负数的性质即可求解． 解：∵， ∴，且即， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值是， 故选：A． 【点拨】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范围是解决问题的关键． 【变式1】对于任意实数x，多项式的值是（    ） A．负数 B．非正数 C．正数 D．无法确定正负的数 【答案】C 【分析】用配方法把多项式配方，再利用非负数的性质判断多项式的值的情况． 解：∵， ∴多项式的值是正数， 故选：C． 【点拨】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．熟练掌握配方法是解决此类问题的关键． 【变式2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式x2+4x+5的最小值？解答过程如下： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1． ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝－2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1， ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式－x2－6x＋12有最_____（填“大”或“小”）值，为__