专题1.1 一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.1 一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】一元二次方程的概念 方程中只含有一个未知数的整式方程，并可以化成 的形式，这样的方程叫一元二次方程。 构成一元二次方程的条件：（1）整式方程；（2）二次项系数; （3）一定是整理后化为的形式。 【例1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进行判断即可． 解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意； B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； C、不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； D、未知数的最高次数是1，故是一元一次方程，该选项不符合题意． 故选：A． 【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2． 【变式】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B．（a，b，c均为常数） C． D． 【答案】C 【分析】根据形如（a，b，c均为常数）的整式方程判断即可． A、中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故不符合题意； C、整理得是一元二次方程，故符合题意； D、整理得不是一元二次方程，故不符合题意； 故选C． 【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，形如（a，b，c均为常数）的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【知识点2】一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 【例2】将方程化成的形式，则，，的值分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出，，的值． 解：将原方程化为一般形式得：， ∴，，． 故选：C． 【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键． 【变式】把方程化成的形式后，a，b，c的值分别是多少？（   ） A．3、7、1 B．2、 C．1、 D．3 【答案】C 【分析】把一元二次方程化成一般式，写出a，b，c的值即可． 解： ∴a，b，c的值分别是1、， 故选C． 【点拨】本题考查一元二次方程的一般形式，能运用整式的乘法进行整理是解题的关键． 【知识点3】根据实际问题列简单的一一元二次方程 从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤 （1） 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间关系； （2） 选择合适的未知数，一般设为x; （3） 确定等量关系； （4） 根据等量关系列出一元二次方程，并化为一般形式。 【例3】根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）一个矩形的长比宽多，面积是，矩形的长和宽各是多少？ （2）有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？ （3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？ 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】（1）设宽为xcm，根据矩形的面积＝长×宽列出方程解答即可； （2）设矩形的长为则矩形的宽为根据矩形的面积＝长×宽列出方程解答即可； （3）设有人参加聚会，根据握手次数＝×人数×（人数−1）列出方程即可． 解：（1）设矩形的宽为则矩形的长为 由矩形的面积公式得 （2）设矩形的长为则矩形的宽为 由矩形的面积公式得 （3）设有人参加聚会，根据题意得可知 即． 【点拨】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识，列一元二次方程的关键是找到实际问题中的相等关系． 【变式】根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）一个圆的面积是，求半径； （2）一个直角三角形的两条直角边相差，面积是，求较长的直角边的长． 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）根据圆的面积公式列出方程即可； （2）根据直角三角形的面积公式计算即可． 解：（1）设这个圆的半径为R， 由圆的面积公式得， ∴； （2）设这个直角三角形较长的直角边为， 由直角三角形的面积公式得，， ． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决问题的关键是找出实际问题中的相等关系． 【知识点4】一元二次方程的的近似解的具体步骤 （1） 列表，根据未知数的取值，分别计算的值； （2） 在表中找出可能使的值等于0的符合要求的未知数的取值范围； （3） 进一步在（2）中的范围内列表、计算、估计范围，直到近似解符合题中精确度的要求为止。 【例4】根据下表的对应值，试