专题21.7 公式法（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.7 公式法（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】一般地，对于一元二次方程， 当 【知识点2】公式法求解一元二次方程 1、 公式法的定义：用求根公式求解一元二次方程的方法叫公式法。 2、 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 【例1】用公式法解下列方程：． 【答案】，． 【分析】先写出各项的系数，再利用求根公式求解即可． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，注意各项系数的符号． 【变式】用公式法解方程： (1)． (2) 【答案】(1) ，； (2) ， 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程即可求解． 解：（1） ∵，，；     ∴， ∴， （2） 方程整理得：． ∵，，，， ∴， ∴，． 【点拨】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是公式法解一元二次方程时要化成一般形式． 【知识点2】一元二次方程根的判别式 【例2】不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）；      （2）；      （3）． 【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根． 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况； （2）先化为一般式，然后计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况； （3）直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况． 解：（1） ， ∴原方程有两个不相等的实数根； （2） 原方程化为一般式是：， ∴ ∴原方程有两个相等的实数根； （3） ∴原方程没有实数根． 【点拨】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【变式】不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）；      （2）；      （3）． 【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根． 【分析】（1）先化为一般式，然后计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况； （2）直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况； （3）先化为一般式，然后计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况． 解：（1）原方程化为一般式5x2+x-7=0， ∵Δ=12-4×5×（-7）=141＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵Δ=202-4×25×4=0， ∴方程有两个相等的实数根； （3）原方程化为一般式4x2+3x+1=0， ∵Δ=32-4×4×1=-7＜0， ∴方程有没有实数根． 【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根． 【题型一】用公式法解含有字母参数的一元二次方程； 【例1】解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2． 【答案】当b＞1时，原方程的解为y＝±；当b≤1时，原方程无实数解． 【分析】把b看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为1，即可得出答案． 解：移项得：by2﹣y2＝2+1， 合并同类项得：（b﹣1）y2＝3， 当b＝1时，原方程无解； 当b＞1时，原方程的解为y＝±； 当b＜1时，原方程无实数解． 【点拨】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意分类讨论． 【变式】解方程： 【答案】当时，原方程的解是，当时，原方程无实数解 【分析】先移项，再合并同类项可得，根据求出，再讨论时，，分别计算出方程的解. 解：移项得：， 化简得：， ， ， 当时，， 原方程无实数解， 当时，， ， 当时，原方程的解是 当时，原方程无实数解． 【点拨】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键. 【题型二】由方程根的情况确定字母参数的值或取值范围； 【例2】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程有实数根的条件可得且，求解即可获得答案． 解：根据题意， 可得且， 解得且． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式是解题关键． 【变式】关于的方程有实数根，则的取值范围是 （   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：①=0，为一元一次方程；②≠0，为一元二次方程，根据根的判别式计算即可． 解：①当=0时，此时方程为，有实数根； ②