第03讲 二次函数y=ax²+k的图象与性质-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（浙教版）

第03讲 二次函数y=ax2+k的图象与性质 1. 会画二次函数y＝ax2＋k的图象． 2. 掌握二次函数y＝ax2＋k的性质并会应用． 3. 理解y＝ax²与y＝ax2＋k之间的联系． 知识点一、二次函数y＝ax2＋k（a ≠ 0）的性质 【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象，并填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 开口向上 y轴 （0，0） 最小值0 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 开口向上 y轴 （0，1） 最小值1 【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 对于【问题2】我们就不再赘述，请大家照着【问题1】的方法研究即可． 由【问题1】【问题2】概括二次函数 y＝ax2＋k（a ≠ 0）的性质是： y＝ax2＋k a＞0 a＜0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （0，k） （0，k） 最值 当x＝0时，y取最小值k 当x＝0时，y取最大值k 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的减小而减小． 对称轴 图象关于y轴对称 知识点二、二次函数y＝ax2 与y＝ax2＋k（a ≠ 0）的图象的关系 二次函数y＝ax2＋k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时，向上平移k个单位长度得到．当k ＜ 0 时，向下平移－k个单位长度得到． 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减． 考点一：二次函数y=ax2+k的顶点坐标与对称轴问题 例1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 例2．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴 【变式训练】 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是_____． 3．已知二次函数．   求函数图象的对称轴和顶点坐标； 求这个函数图象与轴的交点坐标． 考点二：二次函数y=ax2+k的开口问题 例2．抛物线的开口方向（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【变式训练】 1．与抛物线y＝－x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是(    ) A．y＝－x2－1 B．y＝x2－1 C．y＝－x2＋1 D．y＝x2＋1 2．一个二次函数的图象与抛物线的形状相同、开口方向相同，且顶点为，那么这个函数的解析式是______． 3．已知：二次函数y＝x2﹣1． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)画出它的图象． 考点三：二次函数y=ax2+k的增减性问题 例3．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．抛物线开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 【变式训练】 1．已知二次函数，如果y随x的增大而减小，那么x的取值的范围是（   ） A． B． C． D． 2．若点，在抛物线上，则，的大小关系为：_________（填“>”，“=”或“<”）． 3．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？ 考点四：二次函数y=ax2+k的最值问题 例4．如果二次函数的值恒大于，那么必有（ ） A．，取任意实数 B．， C．， D．，均可取任意实数 【变式训练】 1．已知二次函数，则（　　） A．当时，y有最小值 B．当时，y有最小值 C．当时，y有最大值 D．当时，y有最大值 2．已知函数①y=x2+1，②y=-2x2+x．函数____(填序号)有最小值，当x=____时，该函数的最小值是___ 3．已知函数是关于x的二次函数． （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 考点五：二次函数y=ax2+k的图象问题 例5．当时，二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论