专题06 圆-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题06 圆 【知识点梳理】 知识点1：直线与圆的位置关系 设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？ 图1 观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线. 图2 在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有. 图3 当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，. 图4 如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而. 知识点2：点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上. 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹： 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. 【题型归纳目录】 题型一：直线与圆的位置关系 题型二：点的轨迹 【典例例题】 题型一：直线与圆的位置关系 例1．（2023·安徽宿州·校考一模）如图，在中，，以为直径作，在上取一点，使，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 例2．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 例3．（2023·新疆喀什·统考三模）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，于点D，延长交于点E，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 变式1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，过点作的切线交于点．    (1)求证：； (2)若的半径为，，，求的长． 变式2．（2023·河南商丘·统考三模）如图，中，，点为上一点，以点为圆心，以为半径的切于点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式3．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模）如图，在中，，点D为边的中点，以为直径作，分别与交于点E、F，过点E作于G．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 变式4．（2023·广西贵港·统考三模）如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的三点A，B，C．    (1)用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在中，连接交于点E，连接，当时，求图片的半径R； (3)若直线l到圆心的距离等于，则直线l与圆________（填“相交”“相切”或“相离”） 变式5．（2023·辽宁营口·统考二模）如图，内接于，是的直径，弦交于点E，连接．过点B作的切线，交延长线于点N．过点D作于点G，交于点F．    (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 变式6．（2023·浙江舟山·统考三模）如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．    (1)求证：； (2)如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度； (3)在（2）的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律． 题型二：点的轨迹 例4．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 如图1，正方形纸片，在边上任意