专题05 三角形-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题05 三角形 【知识点梳理】 知识点1：三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 知识点2：几种特殊的三角形 结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. 结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 【题型归纳目录】 题型一：三角形的“四心” 题型二：几种特殊的三角形 【典例例题】 题型一：三角形的“四心” 例1．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在平行四边形中，P是线段中点，连接交于点E，连接．    (1)如果． ①求证：平行四边形为菱形； ②若，求线段的长． (2)分别以为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线上，如果，求的值． 例2．（2023·湖北省直辖县级单位·校考模拟预测）如图，在中，为对角线，，是的中线．    (1)在图1中用无刻度的直尺画出的高； (2)在图2中用无刻度的直尺画出的高 例3．（2023·四川成都·统考二模）在，，，点O是边的中点，将绕点O旋转得到（点A，B的对应点分别为，），点不在直线上，连接．    (1)如图1，连接，，，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当落在边上时，与交于点M，连接，．求线段的长； (3)在旋转过程中，点G为的重心，连接，当线段取得最小值时，求出此时的面积． 变式1．（2023·湖北十堰·统考三模）如图，已知，四边形中，，的平分线交于点，以为直径作半经过点，交于点．    (1)求证：与半相切； (2)若，求的长． 变式2．（2023·安徽滁州·统考二模）如图1，是的角平分线，点是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，在射线上取一点，使．    (1)求证：； (2)如图2，已知，． ①求的长； ②图中存在四个点，以它们为顶点能构成一个平行四边形，在图中画出这个平行四边形，并证明它是平行四边形． 变式3．（2023·浙江金华·统考二模）如图，，点E是延长线上一点，．    (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 变式4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在矩形中，对角线和相交于点O，点分别为、的中点．    (1)求证：； (2)如图2，连接和，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中面积是面积3倍的三角形． 变式5．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考三模）[问题提出]某节数学课上，小致遇到这样一个问题：如图①，在中，均为的中线，与相交于点O．求的值．（此处无需求解）    [方法探究] (1)小致发现，过点A作的平行线交的延长线于点F（如图②），可以得到，．则的值为______． [方法应用]参考小致思考问题的方法，解决问题： 如图③，在中，为边上的中线，点D在的延长线上，且． (2)求的值． (3)若的面积为10，则四边形的面积为______． 变式6．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，在中，点是中点，点是射线上的一点．连接并延长交于点．    (1)若，则_________； (2)求证：． 变式7．（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是．    (1)请画出向左平移6个单位长度后得到的； (2)以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴右侧画出，并求出的面积． 变式8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，．    (1)在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为、、）； (2)求的面积． 变式9．（2023·陕西西安·西安市第二十六中学校考模拟预测）【问题提出】    (1)如图1，在中，，，为边上的高，则的长为______． (2)如图2，在四边形中，，且，E，F分别是的中点，连接与