3.2.1单调性与最大（小）值 教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版必修第一册《单调性与最大（小）值》教学设计 一、教材分析 本节的主要内容是函数的单调性、函数的单调区间、增函数与减函数、函数的最大值与最小值。函数的单调性是本节的重要内容，研究函数的单调性在高中阶段通过两次来进行，第一次是利用函数单调性的定义，第二次是利用导数来研究。 通过图形观察，了解函数的单调性，体会函数自变量的变化引起函数的值变化规律，能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质，在动态中感悟与之间的变化关系。 本节的重点是函数单调性的定义，难点是函数单调性的证明与应用。突破重点与难点的关键，首先是理解其含义，其次要结合具体实例进行体会，要结合函数图象的直观意义去理解。本节内容所涉及的主要数学核心素养有：直观想象、数学抽象、数学运算等。 二、学情分析 对学生而言，前面已经学习了函数的概念，在初中已经掌握了正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的图象。初中学段的学习只是谈到函数图象的变化趋势，还没有上升到函数的性质，有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的。 学生学习本节内容时可能会在以下两个方面感到困难：一是增(减)函数形式化定义的形成，这个困难主要发生在概念形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是对定义中“任意”的理解；二是利用增(减)函数的定义判断函数的单调性，其主要原因是比较大小的能力不够，因此对函数的复杂程度要加以控制，同时要明确判断函数单调性的基本步骤。 三、教学目标 1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程，加深对函数单调性概念的理解。 2.理解用符号形式表达数学定义的必要性，掌握这样的定义在讨论函数单调性问题中的作用。 3.能根据图象的升降特征，划分函数的单调区间。 4.理解增(减)函数的定义，会证明函数在指定区间上的单调性。 5.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用。 6.理解函数最值的定义，会求函数在给定区间上的最值。 四、教学重难点 教学重点： 1. 借助图象和自然语言、数学符号语言，形成增(减)函数的形式化定义,并能用定义解决简单的问题。 2. 函数最大（小）值的定义和求法。 教学难点： 1.增(减)函数的定义，利用增(减)函数的定义判断函数的单调性。 2.如何求一个具体函数的最值。 五、教学过程设计 （1） 新课引入 要求学生分别画出一次函数和二次函数的函数图象。 问题1 从左到右看，说出这两个函数图象的变化趋势（用上升和下降描述）。随着的不断增大，函数值有怎样的变化？ 师生活动：生：结合初中学习的相关知识画出这两个函数的图象，然后根据函数图象判断其变化趋势，回答教师的问题。 师：引导学生发现这两个函数图象的变化趋势并复习道：在初中的学习中，我们把函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性。 【设计意图】复习初中所学习的有关函数单调性的知识，让学生体会到函数的单调性与函数图象的变化趋势有关。 （2） 单调性概念的形成 为了刻画函数单调性的数学符号语言，我们以二次函数为例研究高中函数单调性的定义。将二次函数的图象分为两部分进行讨论。 1 在轴左侧，即时，函数图象如图所示： 由图可以看出，图象在区间上呈下降趋势，在区间内随着的增大而减小，用符号语言描述：任意取，，得到，。当时，有，这时我们就说函数在区间上时单调递减的。 2 在轴右侧，即时，函数图象如图所示： 由图可以看出，图象在区间上呈上升趋势，在区间内随着的增大而增大，用符号语言描述：任意取，，得到，。当时，有，这时我们就说函数在区间上时单调递增的。 总结：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。 问题2 在①中，我们是通过图象观察得到当时，有，能不能证明这个结论呢？类比以上证明，同学们自行证明在②中，当时，有。 师生活动：师：引导学生证明对于函数，任意取，当时，有。 生：练习证明对于函数，任意取，，当时，有。 【设计意图】通过观察图象得到二次函数的单调性且用符号语言进行描述，并用代数的方法对结论进行证明，体现了数学的严谨性，让学生体会到数形结合的思想。 问题3 画出和的图象，并说出它们的单调性。 师生活动：生：画出和的图象并口述这两个函数的单调性。 师：通过函数图象的变化规律引导学生定义函数的单调性。并板书：一般地，设函数的定义域为，区间：如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增。特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数。此时区间称为单调增区间。如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减。特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数。此时区间称为单调减区间。 师：强调定义中“任意”二字，它仅对于区间而言而不是定义域而言。并且对于，有三个要求：任意性，同区间性，有大小之分。 问题4 教材第77页下方的思考：（1）设是区间上某些