4.1 数列的概念（第2课时 数列的递推公式 ）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1.2数列的递推公式 人教A版（2019） 选择性必修第二册 新知导入 复习旧知 1 数列的概念是 ？ 2 数列的表示有 ？ 3 数列的通项公式是？ 提示： 1 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2 ①通项公式法 ②列表法 ③图象法 ④一般表示法 3 如果数列{}的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 新知导入 问题： 1 什么叫数列的递推公式？ 2 由数列的递推公式能否求出数列的项？ 新知讲解 例3 如果数列{}的通项公式为 , 那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 分析： 要判断120是不是数列{}中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得. 也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解. 解： 令 ， 解这个关于n的方程， 得 n=-12(舍去)，或 n=10 . 所以，120是数列{}中的项，是第10项. 合作探究 例4 图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图形4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 解法1： 在图4.1-3（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为 1，3，9，27， 即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1. 因此，这个数列的一个通项公式是 合作探究 例4 图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图形4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 解法2： 换个角度观察图4.1-3中的4个图形， 从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍 这样，题中数列的前4项满足， ，，， . 由此猜测这个数列满足公式 新知讲解 数列的递推公式 概念： 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 （若存在一个正整数t，使得 ,则数列）为周期数列，其周期为t） 概念解析： (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式； (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式， 用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项； (3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项； (4)用递推公式给出数列，不易了解数列的全貌，计算也不方便，所以， 经常用它推导出数列的通项公式或得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列. 合作探究 通项公式与递推公式的区别和联系   区别 联系 通项公式 1直接反映了与n之间的关系，即是n的函数， ； 2 知道任意一个具体的n值的，就可以求出该项的值   1都可以一个确定数列   2也都可以求出数列的任意一项   递推公式 1间接反映了与n之间的关系，它是数列任意两项（或多项）相邻项之间的关系式，不能由n直接得出； 2 可根据第1项（或前几项）的值，通过一次（或多次）赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的 合作探究 例5 已知数列{}的首项为，递推公式为, 写出这个数列的前5项. 解： 由题意可知 新知讲解 数列前n项和的定义、前n项和公式 1 把数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和， 记作 , 即 . 2 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 新知讲解 数列的通项与前n项和 显然 ， 而 , 于是我们有 注：（1）已知数列{}的前n项和，求 ，一般用公式 ， 但必须注意它成立的条件是 （2）由 求 时， 若当n=1， 的值不等于的值，则数列的通项公式应采用分段表示，即： 合作探究 思考 已知数列{}的前n项和公式为 ,你能求出{}的通项公式吗？ 解答： 因为 ， 并且当n=1时， 依然成立. 所以{}的通项公式是. 课堂练习 1 填空 （1）数列 中, ,则 （2）数列 中, ,则 （3）数列 中, n=0,则 答案： （1）-17 （2）2 （3）2020 课堂练习 2（由递推公式求数列的项） （多选题）已知数列满足 ， , 则下列各数是的项的有（ ） A．-2 B. C. D. 3 分析： 根据递推关系找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而得出结论.