1.4 充分条件与必要条件（讲义）-【暑期领跑课】2023年初升高暑假衔接之高一数学黄金讲练（人教A版2019）

1.4充分条件与必要条件 1. 命题 （1） 命题的定义 在数学中，把用语言、符号、或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫做命题。 （2） 真命题，假命题 判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题 （3） 命题的一般形式 通常用“若，则”的形式来表达，其中称为命题的条件，称为命题的结论。 考点1：判断语句是否为命题 例1：下列语句中不是命题的是（ ） A． B．二次函数的图象不一定关于y轴对称 C． D．对任意，总有 . 考点2：判断命题的真假 例2：下列命题是真命题的是（ ）． A．空集是任何集合的真子集 B．等腰三角形是锐角三角形 C．函数是二次函数 D．若，则 变式2-1： 如果命题“若m<3,则q”为真命题,那么该命题的结论q可以是(　　) A． m<2 B．m<4 C．m>2 D．m>4 变式2-2： 下列命题是假命题的是（ ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点3：命题的一般形式 例3．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若，则”的形式. （1）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ （2）三角形中，大角所对的边大于小角所对的边； （3）当是有理数时，都是有理数； （4）； （5）这盆花长得太好了！ 变式3-1．判断下列命题的真假并说明理由． （1）某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除； （2）若，且，则，且； （3）合数一定是偶数； （4）若，则； （5）两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等； （6）若实系数一元二次方程满足，那么这个方程有两个不相等的实根； （7）若集合，，满足，则； （8）已知集合，，，如果，那么． 2. 充分条件与必要条件 （1） 充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 考点4：判断充分条件与必要条件 例4：已知a,b,c是实数,判断下列命题的真假： (1)“”是“”的充分条件； (2)“”是“”的必要条件； (3)“”是“”的充分条件； (4)“”是“”的必要条件. 例5：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 变式5-1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线； （2）若x是无理数，则也是无理数. 变式5-2 判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件： （1）； （2）p：x是矩形，q：x是正方形. 例6：已知命题：， ① ② 则命题的充分条件是___________， 命题的必要条件是______________ 变式6-1．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件． （1）p：x2>0，q：x>0； （2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； （3）p：a能被6整除，q：a能被3整除； （4）p：两个角不都是直角，q：两个角不相等． 3. 充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，充分性成立； 结论条件，必要性成立 4. 充要条件 （1） 充要条件的定义 若有，又有，就记作，则是的充分必要条件，简称充要条件。 （2） 充分条件、必要条件的四种类型 若，，则是的充要条件 若，，则是的充分不必要条件 若，，则是的必要不充分条件 若，，则是的既不充分也不必要条件 例7：试用推出关系说明是的什么条件. （1），； （2）是非零自然数，是正整数； （3），； （4），； （5）使得关于的方程有唯一实根的实数，. 变式7-1 试用推出关系来说明命题是的什么条件． （1）：，，：且； （2）：平行四边形，：四边形的一组对边平行． 变式7-2 判断下列命题中p是q的什么条件.（充分不必要条件必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） （1）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； （2），； （3）有两个角相等，是正三角形； （4）若，，； （5），. 例8：求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 5. 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的充分不必要条件 若，即，，是的必要不充分条件 若，