专题05 圆锥曲线大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（新高考云南专用）

专题05 圆锥曲线大题综合（新高考云南专用） 一、解答题 1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知双曲线C：的焦距为4，且过点. (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）求出双曲线的焦点，根据定义求出，然后求出．可得双曲线的方程． （2）联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知双曲线的焦点为和， 根据定义有． ，又，所以，，． 所求双曲线的方程为． （2）解：因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． ①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； ②当即时，由，解得， 此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意． 综上所述：符合题意的的所有取值为，． 2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在符合题意的椭圆，其方程为 【分析】（1）设， 由及可得， 得， 再结合即可解决问题； （2）设，则PM方程为， 联立渐近线方程得到，进一步得到，同理得到， 再利用计算即可得到答案. 【详解】（1）设， 由， 所以，    ① 又点在上，所以， 即，       ② 由①②得：，      ③ 又E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点， |EF|的最小值为， 所以，     ④ 又，⑤ 联立③④⑤解得：， 所以双曲线C的标准方程为： （2）假设存在，由（1）知的渐近线方程为， 则由题意如图： 所以由，    设，则直线方程为， 直线方程为 由，得； 由，得   又， 所以， 所以，， 同理可得，， 由四边形是平行四边形，知， 所以，， 即， 所以，存在符合题意的椭圆，其方程为. 3．（2023·云南红河·统考二模）已知椭圆：的焦距为2，，分别是的左焦点和右顶点，点在上，且． (1)求的方程； (2)若，直线：与交于不同两点，，的内切圆的圆心在直线上，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得为椭圆的左顶点，列出方程即可求得,从而得到结果； （2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，列出方程即可得到结果. 【详解】（1）由，得，所以 又由，得，为椭圆的左顶点， ，解得， 分所以， 故的方程为 （2）由的内切圆的圆心在直线上，知直线，关于直线对称， 所以直线，的倾斜角互补，即． 联立，得． 设，，则， ， 所以， 即， 即， 即． 若即， 直线的方程为， 此时直线过点，不合题意， 所以，即，故直线的斜率为． 4．（2023·云南保山·统考二模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，A是直线l：上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线E交于M，N两点，斜率为的直线与双曲线E交于P，Q两点. (1)求的值； (2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为，，，，问是否存在点A，满足+++=0，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）设 ，利用斜率公式求解； （2）设，直线方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，，结合求解. 【详解】（1）解：双曲线E：的左、右焦点分别为，， 设， ，同理可得. ∴； （2）设， 直线方程为， 代入双曲线方程可得：， 所以，则， 则， ， ， ， . 同理， 即， 即， ∴或， 又， 若.无解，舍去. ∴，解得，，或，， 若，，由A在直线上可得，， ∴.此时， 若，，由A在直线上可得，， ∴此时 ∴存在点，或，满足. 5．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点. (1)求双曲线的方程. (2)若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，使得以线段为直径的圆恒过点 【分析】（1）由渐近线夹角得或，结合双曲线所过点可求得，由此可得双曲线方程； （2）假设存在点满足题意，可知；假设直线方程，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理，根据等式恒成立的求解方法可得的值. 【详解】（1）两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率或，即或； 当时，由得：，，双曲线的