专题03 立体几何大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（新高考云南专用）

专题03 立体几何大题综合（新高考云南专用） 一、解答题 1．（2023·云南昭通·校考模拟预测）如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可. 【详解】连接，交于点，取的中点，连接，， （1） ∴ （2）∵， ∴ 【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高. 2．（2023·云南大理·统考模拟预测）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点． (1)求证：； (2)若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）在矩形中，，D为的中点， 所以，所以， 因为是正三角形，D为的中点， 所以，又因为是正三棱柱，所以平面， 而平面，所以，而平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为平面，点P为线段上， 所以平面，而平面，所以； （2）如图以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 则， 所以，即，解得， 所以， 设为平面的法向量，则 令，则，所以， 取为平面的法向量，所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 3．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）在中，，，，、分别是、上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求与平面所成角的大小； (2)在线段上是否存在点（不与端点、重合），使平面与平面垂直?若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，且 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出及平面的法向量后可求线面角的大小. （2）设，用表示平面和平面的法向量后可求的值，从而可求两条线段的比值. 【详解】（1）在中，因为，故， 故在四棱锥中，有，， 而，故平面，因平面， 所以，而，故， 而，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，因为经过的重心（如图），连接并延长， 交于，则，故， 因为，故， 在中，， 则， 故，故，又 设平面的法向量为， 则即，取，则，故， 故，故与平面所成角的正弦值为. 因为与平面所成角为锐角，故该角为. （2）设，则，故， 又，，， 设平面的法向量为， 则即，取，则， 故. 设平面的法向量为， 则即，取，则， 故， 因为平面平面，故， 所以，故，所以. 4．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知在四棱锥P—ABCD中，，，E为CD中点. (1)平面PCD与平面PAE能垂直吗？请说明理由. (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥的体积. 【答案】(1)平面PCD与平面PAE能垂直，理由见解析； (2). 【分析】（1）连接，由已知可得，即有，再由线面垂直的判定证面，根据面面垂直的判定即可得结论； （2）利用线面垂直的判定和性质证明两两垂直，构建空间直角坐标系，根据线面角相等，应用空间向量夹角的坐标表示列方程求的长度，最后应用棱锥的体积公式求体积. 【详解】（1）平面PCD与平面PAE能垂直，理由如下： 如下图，连接， 在△中，故，即， 所以△为等腰三角形，又E为CD中点，故， 因为，且 ，面，所以面， 由面，故面面. （2）由，则，由，则， 又，且面，则面，而面， 所以，结合，，且面， 所以面，面，故，， 又，即，故两两垂直， 所以可构建如下图示的空间直角坐标系，则， 令且，故，而， 若为面的法向量，则，令，则， 显然面的一个法向量为， 因为直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等， 所以，，即， 所以，即，又，即，故，则底面为直角梯形， 故的体积为. 5．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知直四棱柱中，底面ABCD为菱形，E为线段上一点. (1)证明：平面； (2)若，则当点E在何处时，CE与所成角的正弦值为？ 【答案】(1)证明见解析； (2)详见解析； 【分析】（1）先证明平面平面，进而证明平面； （2）以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量表示CE与所成角的正弦值为，进而求得点E位置为或 【详解】（1）直四棱柱中 四边形为平行四边形，则 又平面，平面，则平面 四边形为平行四边形，则 又平面，平面，则平面 又平面，平面， 则平面平面，又平面 则平面 （2）取中点M，连接 又直四棱柱中，底面ABCD为菱形， 则两两垂直， 以D为原