专题02 数列大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（新高考云南专用）

专题02 数列大题综合（新高考云南专用） 一、解答题 1．（2023·云南丽江·统考一模）已知数列中，，． （1）求； （2）若，求数列的前5项的和. 【答案】(1);(2)77. 【分析】（1），则数列是首项为2，公比为2的等比数列，求解即可． （2）利用分组求和，分为一个等差数列和一个等比数列，利用数列求和公式求解． 【详解】（1）， 则数列是首项为2，公比为2的等比数列， ； （2）， . 【点睛】当两个数列不为同类数列求和时，采用分类求和． 2．（2023·云南大理·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系可得，进而得，由累加法即可求解； （2）根据分组求和，由等差等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，① 当时，，② ①-②得：，即， 所以， 所以，由，可得， 当时，，符合上式， 所以． （2）由题意得， 则 ， 所以． 3．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为成等差数列，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若的前项和为.证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)根据题干条件列出方程组解得，进而可得的通项公式； (2)将裂项可得，利用裂项相消可求得，进而可证明. 【详解】（1）设的公差为，由题意得， 即， 解得，所以. （2）， 所以. 4．（2023·云南昭通·统考模拟预测）设是公差不为0的等差数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)求使的的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得. （2）先求得，然后由进行化简，从而求得的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， 由于，故解得， 所以. （2）， 由得， 解得， 由于，所以的最大值是. 5．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）设为数列的前项和，且满足：. (1)设，证明是等比数列； (2)求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合及等比数列的定义推理作答. （2）利用并项求和法，结合等比数列前n项和公式求解作答. 【详解】（1）因为，，则， 两式相减得：，整理可得，即， 于是，， 所以数列是等比数列. （2）由（1）知，，又，则 所以. 6．（2023·云南红河·统考二模）已知等差数列的公差，，其前项和为，且______． 在①，，成等比数列；②；③这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答下列问题． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）条件①：利用等比中项列式性质列式计算求出公差；条件②利用等差数列前项和公式列式计算；条件③利用因式分解求出公差即可. （2）对项数进行分类，利用分组求和求出前项和. 【详解】（1）若选择条件①． 因为，，成等比数列，所以， ，整理得， 又，解得， 所以数列的通项公式为． 若选择条件②． 因为，所以， ，解得， 所以数列的通项公式为， 若选择条件③． 因为，所以， 即， 因为，，所以， 所以， 则数列的通项公式为 （2）解法一： 解法二： 7．（2023·云南·统考二模）已知数列的每一项都是正数，，．记数列的前项和为，，数列的前项和为，数列的前项和为． (1)求、； (2)直接写出与的大小关系（不要求证明）． 【答案】(1)， (2)当时，，当时，． 【分析】（1）将等式变形可得出，可得出，可知数列为等差数列，确定其首项和公差，可求得，求出数列的通项公式，可求得； （2）令，考查数列的单调性，可得出与的大小关系. 【详解】（1）解：， 则， 数列的每一项都是正数，则．所以，． 等式两边同除以可得， 数列是首项为，公差为的等差数列， 故， 数列的前项和为， 则的前项和． 且，则，． 故，且， 数列是首项为，公比为的等比数列． 数列的前项和． （2）解：， 令，则， 所以，数列单调递增， 因为，， 所以，当时，，即； 当时，，即. 8．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，且满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前10项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得到，然后根据解出，从而可得的通项公式； （2）由（1）得，然后裂项相消求和法求解即可. 【详解】（1）因为是公差为的等差数列，， 所以当时，， 当时，， 因为，即， 解得，所以或（舍去）， 所以； （2）由（1）得， . 所以. 9．（2023·云南昆明·统考模拟预测）雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，