专题09 导数大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（理科）（陕西专用）

专题09 导数大题综合（理科）（陕西专用） 一、解答题 1．（2023·陕西榆林·统考三模）已知函数． (1)若直线与曲线相切，求m的值； (2)证明：（参考数据：）． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义结合条件即得； （2）根据函数的单调性可得，然后构造函数，，利用导数求函数的最值，进而即得. 【详解】（1）由题意，， 由，得， 则， 解得； （2）因为，， 由，可得，在上递减， 由，可得，在上递增； 所以； 又等价于． 令，则． 当时，，在上递增； 当时，，在上递减． 所以． 令，则． 当时， ，在上递减， 当时，；在上递增，． 所以． 因为，所以，所以， 所以，从而得证， 故． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 2．（2023·陕西商洛·统考三模）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)写出一个适当的正整数，使得恒成立，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线方程的公式，求得切点坐标与斜率，可得答案； （2）先写出一个正整数，整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，研究最值，可得答案. 【详解】（1）， 因为，所以，则， 所以曲线在处的切线方程为，即． （2）当时，恒成立，即恒成立， 证明过程如下． 今， ①当时，，所以． ②当时，，令， 则，可知在上单调递增． 当时，，所以，即在上单调递增， 又因为，所以，即在上单调递增， 所以成立． 一般情况下探求：当时，，即， 令， ①当时，，所以． ②当时，，令， 则，可知在上单调递增． 又因为，所以存在，使得，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以只需满足即可. 3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当且时，证明：曲线在轴的上方. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，求出，利用点斜式即可得出所求切线的方程； （2）利用导数求出函数的单调区间与极值，即可得到函数的最小值，由此可得，即可证明曲线在轴的上方. 【详解】（1）解：函数的定义域为. 当时，.所以. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，. 令，得或（舍去）. 当变化时，变化情况如下： - 0 + 极小值 当，即时，在区间上单调递增， 则，即曲线在轴的上方. 4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）已知函数. (1)当时,求函数的零点; (2)对于任意的,恒有,求实数的取值范围. 【答案】(1)有唯一的零点 (2). 【分析】(1)的正负不明显时,对其再次求导判断值域,即可得出的正负,从而得出的单调性,再结合函数值即可判断零点个数. (2)注意到,可考虑让在单调递增求出的范围即可符合题意,然后再检验不单调递增时的范围即可，此法为端点效应. 【详解】（1）当时,,得, 令,则, ,即,所以在上单调递增, 注意到,故有唯一的零点. （2） 注意到,只要即可，,, 令,则, 当时,,有,即,符合题意; 当时,, 若,即时,,此时,即,符合题意; 若,即时,在上单调递减,在上单调递增知, ∴,不合题意, 综上. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于分类讨论，首先讨论时的情况，然后讨论时，利用端点效应代入求出的范围，并检验是否符合题意， 5．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数（自然对数的底数）在点处的切线方程为. (1)求、的值； (2)试判断函数在区间内零点的个数？说明你的理由. 【答案】(1)， (2)有两个零点，理由见解析 【分析】（1） 由切点符合切线方程，以及切线的斜率等于函数在切点处的导数值，列方程组，解出、的值； （2）由（1）得出函数的解析式，将在区间内零点的个数，转为在区间内零点的个数，对求导，判断出单调性和极值，得出零点个数． 【详解】（1）的定义域为. ，，， ∵在点处的切线方程为，切线的斜率为. ，解得，. （2）由（1）知，. ∴（为自然对数的底数）. 在区间内有两个零点.理由如下： ∵总成立，∴在区间内零点的个数等价于在区间内零点的个数， ∵，. 又∵，由，得. 当时，得，得，即，在上单调递减. 当时，得，得，即，在上单调递增. ∴在处取得极小值，也是最小值. . 综上所述，在区间和区间内各有唯一零点，即在区间内有两个零点. ∴函数在区间内有两个零点. 6．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）