专题07 圆锥曲线大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（陕西专用）

专题07 圆锥曲线大题综合（陕西专用） 一、解答题 1．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，.直线（不经过点）与椭圆交于两点，，直线与椭圆交于另一点，点满足，且在直线上. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点，且存在另一个定点，使为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设方程为，代入点的坐标，得出方程组，求解即可得出答案； （2）设的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出的方程为.令，整理可得，即可得出定点. 进而由已知可推得，即可得出的轨迹，得出答案. 【详解】（1）设的方程为， 则，解得， 所以的方程为. （2）   由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设的方程为， 设点，，则，. 联立，消去，得， 则， 且，. 所以，所以的方程为. 令，则， 所以直线恒过定点，设为点. 又因为，在上， 所以， 则点在以为直径的圆上，从而的中点，使为定值. 【点睛】思路点睛：设的方程为，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.进而整理化简，即可得出定点坐标. 2．（2023·陕西西安·校联考一模）已知抛物线的焦点为F，圆，过C上一点作C的切线，该切线经过点． (1)求C的方程； (2)若与C相切的直线l，与E相交于P，Q两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，然后可建立方程求出； （2）设l与C相切于点，然后求出切线的方程，然后求出、点到l的距离，然后表示出面积，然后可得答案. 【详解】（1）由，得，则． 设该切线的斜率为k，则． 由题可知，，因为该切线经过点，所以， 解得，故C的方程为． （2）设l与C相切于点，则l的方程为，即． 由（1）可知，E的方程为．则圆心到l的距离． 因为l与E相交，所以，整理得． ． 点到l的距离， 的面积， 当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为． 3．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆C上的一个动点，且点M到右焦点距离的最大值为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当的面积最大时，求此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得、，结合求出a、b即可求解； （2）设直线l的方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，根据弦长公式表示，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）椭圆C的离心率为， 又点M到右焦点距离的最大值为，即， 解得，． 又由，可得． ∴椭圆C的方程为：． （2）由题意，设直线l的方程为， 联立得， 设，， 则，， ， 当且仅当即时取等号． ∴所求直线l的方程为或． 4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知椭圆的焦点分别别为的上､下顶点，过且垂直于的直线与交于两点， (1)求椭圆的方程； (2)已知原点，过的直线分别交于两点和两点，在轴的上方，若三点共线，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合椭圆的特征得出，在应用弦长公式计算可得椭圆方程； （2）设点应用点差法，消元可得定点. 【详解】（1）设，则，所以. 设椭圆的方程为，即， ， 为正三角形， 过且垂直于的直线与交于两点，为线段的垂直平分线， 直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程， 整理化简得到：， 判别式， . ，所以. 故椭圆的方程为. （2）设因为， 所以，即①， 又因为点均在椭圆上，所以， 两式整理，可得，②， 由②除以①可得，消元可得， 同理可得， 所以直线的方程为， 又， 所以直线的方程为，故直线过定点. 5．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，连接并交椭圆于另一点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得，结合离心率和即可求解； （2）根据题意可设直线AC的方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点O到直线AC的距离，结合三角形面积公式计算求出t，即可求解. 【详解】（1）联立得，由题意得，所以. 因为椭圆的离心率，所以. 因为，所以， 故椭圆的方程为. （2）由题意知，直线不垂直于轴. 设直线的方程为， 联立方程组，消去并整理得， 所以， 所以 因为点到直线的距离，且是线段的中点， 所以点到直线的距离为， 所以. 由，解得或（舍去）， 所以， 故直线的方程为，即或. 6．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，短